Chủ đề này có 327 trả lời

[minhdat881439]

Tiếp nha

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

----------------------

Bài 72:

$15x^{5}+11x^{3}+28=\sqrt{1-3x}$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

----------------------

Bài 73:

$(4x-1)\sqrt{1+x^{2}}=2x^{2}+2x+1$

(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 22-07-2012 - 10:22

[chrome98]

Bài 73:
$(4x-1)\sqrt{1+x^{2}}=2x^{2}+2x+1$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)
Giải: Ta có phương trình tương đương
$(4x-1)^2(x^2+1)-(2x^2+2x+1)^2=0\Leftrightarrow 12x^4-16x^3+9x^2-12x=0\Leftrightarrow x(3x-4)(4x^2+3)=0$
Phương trình này có hai nghiệm thực $x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$.

[triethuynhmath]

Tiếp nha

Bài 73:

$(4x-1)\sqrt{1+x^{2}}=2x^{2}+2x+1$

(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

Chém bài này bằng 2 cách (Cách trên có vẻ khá trâu bò khi biến đổi ra pương trình bậc 4 và nếu ra nghiệm vô tỉ chắc cũng chịu).
Cách 1:
Đặt $a=\sqrt{x^2+1}(a\geq 0)$
Pt trở thành $2a^2+2x-1=(4x-1)a<=>2a^2-(4x-1)a+2x-1<=>(2a-1)(a-2x+1)=0<=> \begin{bmatrix}a=\frac{1}{2} \\ a=2x-1 \end{bmatrix}$.Đến đây thay x vào giải là xong
Cách 2:Đặt $a=\sqrt{x^2+1},b=4x-1(a\geq 0)$.Phương trình trở thành :
$ab=2a^2+2x-1<=>2ab=4a^2+b-1<=> 4a^2-2ab+b-1=0<=> (2a-1)(2a+1)-b(2a-1)=0<=>(2a-1)(2a+1-b)=0$
$<=>\begin{bmatrix}a=\frac{1}{2} \\a=\frac{b-1}{2} \end{bmatrix}$
Đến đây cũng thay x vào giải và cả 2 cách đều chỉ đưa về PT bậc 2 không khó như PT bậc 4.
Bài này khá phù hợp với THCS,không khó như các bài THPT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 22-07-2012 - 11:26

[tieulyly1995]

Bài 72:

$15x^{5}+11x^{3}+28=\sqrt{1-3x}$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

ĐKXĐ : $x\leq \frac{1}{3}$
Xét $f(x)= 15x^{5}+11x^{3}+28-\sqrt{1-3x}$
có $f'(x)= 75x^{4}+33x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}} > 0$ với mọi $x\leq \frac{1}{3}$
do đó : $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ; \frac{1}{3}]$
Mà $f(-1)= 0$ nên $x=-1$ là nghiệm duy nhất của PT

[T M]

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

Làm bài thể dục tí !

$$\text{PT} \Longleftrightarrow \begin{cases}xy^2=x-2y \\ 3x^2y-x^3=y-3x \end{cases}$$

Xét $x=0,.............$

Xét $x \neq 0$ đặt $y=tx$ được

$$\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3t^2=x(1-2t) & & \\ x^3(3t-1)=x(t-3) \end{matrix}\right. \Longrightarrow \frac{1-2t}{t^2}=\frac{t-3}{3t-1} \Longrightarrow \left[\begin{matrix}t=1 \\ t=-2-\sqrt{5} \\ t=\sqrt{5}-2 \end{matrix} \right.$$

Còn lại coi như xong :X

---------

Còn bài 67 và 59 nữa nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 22-07-2012 - 12:12

[tieulyly1995]

Tiếp nha

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

Xét $1-y^{2}= 0$ và $1-3x^{2}=0$ : ....
Xét $1-y^{2} \neq 0$ và $1-3x^{2} \neq 0$ :
Khi đó :
$HPT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \frac{2y}{1-y^{2}}\\ y= \frac{3x-x^{3}}{ 1-3x^{2}} \end{matrix}\right.$
Đặt $x= tan\alpha$, từ hệ ta có :
$y= tan 3\alpha \Rightarrow x= tan6\alpha$
Do đó : $tan \alpha = tan 6\alpha$

[tieulyly1995]

Bài 75 :
$\sqrt[3]{4x+2}+ \sqrt[3]{4-x}+ \sqrt[3]{2x-7}- \sqrt[3]{5x-1}=0$

[chrome98]

Giải: Đặt $\sqrt[3]{4x+2}=a, \sqrt[3]{4-x}=b, \sqrt[3]{2x-7}=c$ thì phương trình tương đương
$a+b+c=\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}$
$\Rightarrow (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3$
$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)=0$
Suy ra
TH1: $a=-b$, thì $4x+2=x-4\Leftrightarrow x=2$, không thoả mãn pt đầu
TH2: $b=-c$, thì $4-x=7-2x\Leftrightarrow x=3$,không thoả mãn pt đầu
TH3: $c=-a$, thì $7-2x=4x+2\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}$, thoả mãn pt đầu
Vậy nên phương trình này có 1 nghiệm $x=\frac{5}{6}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 22-07-2012 - 14:22

[tieulyly1995]

TH1: $a=-b$, thì $4x+2=x-4\Leftrightarrow x=2$, không thoả mãn pt đầu
TH2: $b=-c$, thì $4-x=7-2x\Leftrightarrow x=3$,không thoả mãn pt đầu

Bạn nhầm một chút
TH1 : $x=-2 $ : thỏa mãn
TH2 : $x=3$ : thỏa mãn mà
Vậy PT có $3$ nghiệm.

[T M]

à, em cảm ơn chị

Hạn chế cm như thế này nhé ! Hãy sử dụng chức năng "Thích"

---------------------

Tiếp tục với 1 bài nhẹ :X

Bài 71. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} xy^2-2y+3x^2=0 \\ y^2+x^2y+2x=0 \end{cases}$$

Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình - Vòng 1.

P/S: bài này nhìn qua đã thấy ý tưởng lộ liễu rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 22-07-2012 - 16:08

[minhdat881439]

Hạn chế cm như thế này nhé ! Hãy sử dụng chức năng "Thích"

---------------------

Tiếp tục với 1 bài nhẹ :X

Bài 71. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} xy^2-2y+3x^2=0 \\ y^2+x^2y+2x=0 \end{cases}$$

Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình - Vòng 1.

P/S: bài này nhìn qua đã thấy ý tưởng lộ liễu rồi

Xét x=0 thì y=0 thỏa mãn hệ
Khi $x\neq 0$ nhân 2 vế pt 2 cho x rồi trừ cho pt 1 vế theo vế ta có:
$x^{3}y+2y-x^{2}=0\Leftrightarrow y(x^{3}+2)=x^{2}\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}}{x^{3}+2}$
Thay vào pt 1 ta có:
$x(\frac{x^{2}}{x^{3}+2})^{2}-2(\frac{x^{2}}{x^{3}+2})+3x^{2}=0 \Leftrightarrow \frac{x^{3}}{(x^{3}+2)^{2}}-\frac{2}{x^{3}+2}+3=0 \Leftrightarrow x^{3}-2(x^{3}+2)+3(x^{3}+2)^{2}=0\Leftrightarrow 3x^{6}+11x^{3}+8=0\Leftrightarrow (x^{3}+1)(3x^{3}+8)=0$
Giải pt trên ta có
+$x^{3}=-1\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=1$
+$x^{3}=\frac{-8}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{-8}{3}}\Rightarrow y=\frac{-6}{\sqrt[3]{9}}$
Vậy...
p\s không biết ông làm sao chứ bài này mệt quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 22-07-2012 - 16:27

[T M]

..................
p\s không biết ông làm sao chứ bài này mệt quá

Một hướng nghĩ khác ! Bài này nhiều hướng giải lắm ! :X

$\left\{\begin{matrix} xy-2+\frac{3x^2}{y}=0 \\ \frac{y^2}{x}+xy+2=0 \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left ( xy-2 \right )\left ( xy+2 \right )=-3xy$

Hoặc vẫn biến đổi thế này nhưng làm cách khác

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2}{y}=a & & \\ \frac{y^2}{x}=b
& &
\end{matrix}\right. \Longrightarrow xy=ab$

.............

Hoặc 1 hướng khác

$\left\{\begin{matrix}
\frac{y^2}{x}-2\frac{y}{x^2}+3=0 & & \\
\frac{y^2}{x}+xy+2=0& &
\end{matrix}\right.$

-----------------------

" Dạng" nhìn thế này cơ bản là cứ "mò" chia các vế cho $x^2;y^2;xy;x^2y^2..............$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 22-07-2012 - 16:46

[T M]

Bài 72. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt[4]{x}\left ( \frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} \right )=2 & & \\
\sqrt[4]{y}\left ( \frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} \right )=1
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Cần Thơ 2011-2012

[Gioi han]

Bài 72. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt[4]{x}\left ( \frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} \right )=2 & & \\
\sqrt[4]{y}\left ( \frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} \right )=1
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Cần Thơ 2011-2012

Bài 72.

$ĐK : x,y\geq0$
Ta thấy $x=y=0$ không là nghiệm hệ pt .
Ta có hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} )=\frac{2}{\sqrt[4]{x}}\\ ( \frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y})=\frac{1}{\sqrt[4]{y}} \end{matrix}\right.$

Cộng ,trừ từng vế của pt $( 1),(2)$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} (\frac{2}{\sqrt[4]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{y}})=\frac{1}{2}\\ (2\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y})=\frac{2}{\sqrt[4]{x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{y}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}=\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}$

$\Leftrightarrow 4y\sqrt{y}-x\sqrt{x}+2x\sqrt{y}-2y\sqrt{x}=0$ (pt đẳng cấp bậc 3)

Từ đó giải được $x$ theo $y$ ,thay vào pt trên ta được nghiệm hệ.

Mod hoangtrong2305 : cảm ơn nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhang28091996: 23-07-2012 - 15:07

[T M]

Đẩy topic lên phát

Bài 73. Giải hệ ( Bất + phương trình ) =))

$$\left\{\begin{matrix}
2x-y+\sqrt{x-1}\geq \sqrt{2(x-1)+2(2x-y)^2} \\ y^2+4x\sqrt{x-1}-17=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa 2010-2011

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 23-07-2012 - 16:04

[chrome98]

Giải: ĐKXĐ: $x\geq 1$
Ta có bất phương trình đầu tương đương với $(a+b)^2\geq 2(a^2+b^2)$ với $a=2x-y$ và $b=\sqrt{x-1}$, điều này xảy ra $\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 2x-y=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow y=2x-\sqrt{x-1}$
Do đó hệ bất-phương trình tương đuơng $4x^2+x-18=0\Leftrightarrow$ $x=2$ (do $x\geq 1$), nên $y=3$
Vậy $(x;y)=(2;3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 23-07-2012 - 16:26

[Poseidont]

Bài 74/Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}\\ y^{19}+z^5=1890x+x^{2001}\\z^{19}+x^5=1890y+y^{2001} & & \end{matrix}\right.$$
Bài 75
$\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^2}{a+x^2}$ (với $a,b,c>0$)
____________
Đề này của tỉnh, thành phố nào????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-07-2012 - 10:20

[Tru09]

Bài 74
Coi x là số lớn nhất trong x,y,z
TH1 :
$x \geq y \geq z$(1)
$\rightarrow x^{19} \geq y^{19} ,y^5 \geq z^5$
$\rightarrow 1890z +z^{2001} \geq 1890x +x^{2001}$
$\rightarrow 1890(z-x) +z^{2001} -x^{2011} \geq 0$
$\rightarrow z \geq x$(2)
Từ (1) và (2) $\rightarrow x=y=z$
TH2 :$x \geq z \geq y$(3)
$\rightarrow z^{19} \geq y^{19} ,x^5 \geq z^5$
$\rightarrow 1890y +y^{2001} \geq 1890x+x^{2001}$
$\rightarrow 1890(y-x) +y^{2001} -x^{2001} \geq 0$
$\rightarrow y\geq x(4)$
Từ (3) và (4) $\rightarrow x=y=z$
Vậy cả 2 trường hợp $\rightarrow x=y=z$
Nếu x=y=z =0 thì thoả mãn
Nễu x=y=z khác 0
Thì
$x^{18} +x^4 =1890 +x^{2000}$
Ta có :nếu x=1 và -1 thì sai
Nếu $x \geq 2$ hoặc $x \leq -2$ thì$ x^{2000} \geq x^{18} +x^4$$ \rightarrow$ loại nuốt
$\rightarrow x=y=z=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 28-07-2012 - 22:03

[tuithichtoan]

Bài 75:
Đk: ....$0< x\leq \frac{a}{b}$
Có $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a-bx}{cx}}-1=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}-1$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{a-bx}{cx}-1}{\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}=\frac{(b+c)x+x^{2}-a-x^{2}}{a+x^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{a-(b+c)x}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1)}+\frac{a-(b+c)x}{a+x^{2}}=0$
Vì $\frac{1}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}+\frac{1}{a+x^{2}}>$ 0 với $a, b, c> 0$ và $0< x\leq \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x= \frac{a}{b+c}$

[CD13]

Bài 76:
Cho phương trình $ax^3+21x^2+13x+2008=0 (1)$
Biết rằng phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm thực, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm thực
$4(ax^3+21x^2+13x+2008)(3ax+21)=(3ax^2+42x+13)^2$

(Học sinh giỏi Hải Phòng 2008-2009, nhóm không chuyên)