Chủ đề này có 327 trả lời

[CD13]

Bài 77:
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}
|y|=|x-3|\\(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y
\\x^2+z-4x=0

\end{matrix}\right.$

(Đề thi chọn đội tuyển QG Nghệ An năm 2008 - 2009)

[Spin9x]

Bài 78
$
x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}
$

Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010-2011

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Spin9x: 15-08-2012 - 05:50

[longqnh]

Bài 78
$
x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}
$

Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010-2011

ĐK: $-1\leq x \leq 2$
pt $<=>\sqrt{x+1} + \sqrt{2-x}-x^2+x+2=3+\sqrt{2} (*)$
Đặt $t=\sqrt{x+1} + \sqrt{2-x}$ với $0\leq t\leq \sqrt{6}$
$(*)<=>t+(\frac{t^2-3}{2})^2=3+\sqrt{2}$
$<=>t^4-6t^2+4t-3-4\sqrt{2}=0$
$<=>(t-\sqrt{2}-1)\left [ t^3+(1+\sqrt{2})t^2+(2\sqrt{2}-3)t+(5-\sqrt{2}) \right ]=0$
Vì pt $t^3+(1+\sqrt{2})t^2+(2\sqrt{2}-3)t+(5-\sqrt{2})=0$ không có nghiệm thỏa mãn $0<t\leq \sqrt{6}$ nên chỉ xét $t=\sqrt{2}+1$
Với $t=\sqrt{2}+1$
\[\begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - x} = \sqrt 2 + 1 \\
<=> 3 + 2\sqrt { - {x^2} + x + 2} = 3 + 2\sqrt 2 \\
<=> {x^2} - x = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
x = 0(thoa) \\
x = 1(thoa) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Vậy pt có nghiệm $x=0$ v $x=1$

[donghaidhtt]

Bài 78
$
x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}
$

Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010-2011

Cách 2:
$x-1 + \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} = x^2 + \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow x+(\sqrt{x+1}-1)=x^2+(\sqrt{2}-\sqrt{2-x})$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}(*) \end{bmatrix}$
Xét $(*)$ bằng pp đánh giá có $x=1$ là nghiệm. Xét 2 trường hợp $\begin{bmatrix} -1\leq x< 1\wedge x\neq 0\\ 1< x\leq 2 \end{bmatrix}$ thấy vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 16-08-2012 - 20:09

[taminhhoang10a1]

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y \\
y^3 - 3y = z \\
z^3 - 3z = x \\
\end{array} \right.
$

Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

P/S: Giá mà diễn đàn mình có công cụ tìm kiếm tốt hơn thì em đỡ phải mò từng trang để tránh lặp lại bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 17-08-2012 - 17:48

[minhdat881439]

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y \\
y^3 - 3y = z \\
z^3 - 3z = x \\
\end{array} \right.
$
Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

Đặt $f(t)=t^{3}-3t ;g(t)=t $
Khi đó hệ pt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & \\ f(y)=g(z) & \\ f(z)=g(x) & \end{matrix}\right.$
Giả sử x=max(x,y,z) thì $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq y\Rightarrow g(x)\geq g(y) & \\ x\geq z\Rightarrow g(x)\geq g(z) & \\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)\geq f(x) & \\ g(z)\leq f(z) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq x^{3}-3x& \\ z \leq z^{3}-3z & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x^{2}-4) \leq 0&\\ z(z^{2}-1) \geq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
0\leq x\leq 2 & \\
x\leq -2 &
\end{bmatrix} & \\
\begin{bmatrix}
z\geq 2 & \\
-2\leq z\leq 0 &
\end{bmatrix} &
\end{matrix}\right.$
Suy ra $\begin{bmatrix} x=z=0 & \\ x=z=2 & \\ x=z=-2 & \end{bmatrix}$
Thế vào hệ pt ta được $\begin{bmatrix} x=z=y=0 & \\ x=z=y=2 & \\ x=z=y=-2 & \end{bmatrix}$
Vậy ...

[minhdat881439]

Đoạn nay suy ra được hả bạn? Minh nghĩ không phải đau nha

Em nghĩ là thế này không biết có đúng không
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
0\leq x\leq 2 & \\
x\leq -2 &
\end{bmatrix} & \\
\begin{bmatrix}
z\geq 2 & \\
-2\leq z\leq 0 &
\end{bmatrix} &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\leq 2\leq z & \\ x\leq -2\leq z & \end{bmatrix}$
Mà x là max (x,y,z) nên suy ra
Còn trường hợp x=y=z=0 thì em không biết sao để có thể suy ra không biết có thể nói rằng dễ thấy x=y=z=0 là nghiệm của hệ không có lẽ cách làm chưa đúng anh xem sai chỗ nào chỉnh giúp em hoặc anh có cách giải khác thì post lên cho mọi người tham khảo

[taminhhoang10a1]

Em nghĩ là thế này không biết có đúng không
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
0\leq x\leq 2 & \\
x\leq -2 &
\end{bmatrix} & \\
\begin{bmatrix}
z\geq 2 & \\
-2\leq z\leq 0 &
\end{bmatrix} &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\leq 2\leq z & \\ x\leq -2\leq z & \end{bmatrix}$
Mà x là max (x,y,z) nên suy ra
Còn trường hợp x=y=z=0 thì em không biết sao để có thể suy ra không biết có thể nói rằng dễ thấy x=y=z=0 là nghiệm của hệ không có lẽ cách làm chưa đúng anh xem sai chỗ nào chỉnh giúp em hoặc anh có cách giải khác thì post lên cho mọi người tham khảo

Mình cũng thắc mắc giống bạn. Mong mọi người chỉ giúp.
Cái chính là khi 0 < x < 2 và -2 < z < 0 thì không biết làm ntn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 19-08-2012 - 10:17

[tieulyly1995]

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y (1) \\
y^3 - 3y = z(2) \\
z^3 - 3z = x(3) \\
\end{array} \right.
$

Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

Ta thấy : khi thay $(3)$ vào $(1)$, ta được :
$(z^{3}-3z)^{3}-3(z^{3}-3z)=y$ $(4)$
Thế $(2)$ vào $(4)$ ta được :
$\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y) \right ]^{3}-3\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y)\right ]=y$
là một PT có số mũ cao nhất là $27$ nên HPT có tối đa $27$ nghiệm.
Xét $y\epsilon \left [ -2;2 \right ]\Rightarrow x,z \epsilon \left [ -2;2 \right ]$
Đặt : $y=2cos\alpha , \alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$
$\Rightarrow z= y^{3}-3y = 8cos^{3}\alpha -6cos\alpha =2cos3\alpha$
$\Rightarrow x= z^{3}-3z = 8cos^{3}3\alpha -6cos3\alpha =2cos9\alpha$
$\Rightarrow y= x^{3}-3x = 8cos^{3}9\alpha -6cos9\alpha =2cos27\alpha$
$\Rightarrow cos\alpha = cos27\alpha$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14}
\end{array} \right.$ $k\epsilon Z$
Vì $\alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$ nên $\left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13} , k= \overline{0;12}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14} , k= \overline{1;14}
\end{array} \right.$
Do đó PT có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn $[-2;2]$ và cũng chính là nghiệm của hệ trên tập $R$

[T M]

Lâu lắm rồi không tham gia topic Làm vài bài khởi động tí nhỉ

Bài toán 80. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=2xy+1 \\
x^5+y^3+1=0
\end{matrix}\right.$$

Bài toán 81. Giải phương trình

$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$

Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

______

2 Bài khá nhẹ, mọi người chém nhanh nhé
______

Bài 76:
Cho phương trình $ax^3+21x^2+13x+2008=0 (1)$
Biết rằng phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm thực, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm thực
$4(ax^3+21x^2+13x+2008)(3ax+21)=(3ax^2+42x+13)^2$

Bài 77:
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}
|y|=|x-3|\\(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y
\\x^2+z-4x=0

\end{matrix}\right.$

(Đề thi chọn đội tuyển QG Nghệ An năm 2008 - 2009)

Thầy CD13 có lời giải 2 bài toán này thì post lên cho mọi người tham khảo nhé, mốc hết rồi...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 25-08-2012 - 18:38

[nthoangcute]

Bài toán 81. Giải phương trình
$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$
Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

Ăn bài dễ trước:
Phương trình đã cho tương đương với:
$$\sqrt{1-x^2} (x^2-\sqrt{1-x^2})(1-\sqrt{1-x^2})=0$$
Từ đó ta được $$x=\{-1,0,1,\dfrac{\sqrt {-2+2\,\sqrt {5}}}{2},-\dfrac{\sqrt {-2+2\,\sqrt {5}}}{2}\}$$

[triethuynhmath]

Lâu lắm rồi không tham gia topic Làm vài bài khởi động tí nhỉ

Bài toán 80. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=2xy+1 \\
x^5+y^3+1=0
\end{matrix}\right.$$

Bài toán 81. Giải phương trình

$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$

Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

______

2 Bài khá nhẹ, mọi người chém nhanh nhé
______






Thầy CD13 có lời giải 2 bài toán này thì post lên cho mọi người tham khảo nhé, mốc hết rồi...

Cách giải khác nào(Cách kia phân tích hay thật):
DKXD $0\leq x\leq 1$
Đặt $a=x^2,b=\sqrt{1-x^2}$ Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} a^2+b=1 \\ a+b^2=1 \end{matrix}\right.$ Và đây chẳng phải là hệ đối xứng loại 2 sao?
Giải ra:
$\begin{bmatrix} a=b \\ a+b=1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2=\sqrt{1-x^2} \\ x^2+\sqrt{1-x^2}=1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^4=1-x^2 \\ \sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}-1)=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \\ x=0 \\ x^4+x^2-1=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \\ x=0 \\ x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \\ x=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \end{bmatrix}$

[triethuynhmath]

Lâu lắm rồi không tham gia topic Làm vài bài khởi động tí nhỉ

Bài toán 80. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=2xy+1 \\
x^5+y^3+1=0
\end{matrix}\right.$$

Bài toán 81. Giải phương trình

$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$

Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

______

2 Bài khá nhẹ, mọi người chém nhanh nhé
______






Thầy CD13 có lời giải 2 bài toán này thì post lên cho mọi người tham khảo nhé, mốc hết rồi...

Bài 80 cũng khá dễ nhỉ:
Từ phương trình đầu của hệ cho :
$(x-y)^2=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=x-1 \\ x+1=y \end{bmatrix}$
Xét trường hợp 1.Thay vào 2 ta có:
$x^5+(x-1)^3+1=0\Leftrightarrow x^5+x^3-3x^2+3x-1+1=0\Leftrightarrow x(x^4+x^2-3x+3)=0\Leftrightarrow x=0\Leftrightarrow x=0,y=-1$
Với TH 2:
$x^5+(x+1)^3+1=0\Leftrightarrow x^5+x^3+3x^2+3x+2=0\Leftrightarrow (x+1)(x^4-x^3+2x^2+x+2)=0\Leftrightarrow x=-1\Leftrightarrow x=-1,y=0 (Q.E.D)$

[899225]

Mình cũng xin mạn phép tham gia
Giải hệ phương trình sau với mọi k>=1 và a,b,c>=0

[khanh3570883]

Mình cũng xin mạn phép tham gia
Giải hệ phương trình sau với mọi k>=1 và a,b,c>=0

Chắc là nhờ cái này:

Bài này có trong cuốn Phương pháp dồn biến của Phan Thành Nam.

899225: Bạn ơi khồn cầu kì vậy đâu chỉ cần áp dụng BĐT

và nesbit thôi là làm Ok rồi bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 27-11-2012 - 19:16

[CD13]

Bài 76:
Cho phương trình $ax^3+21x^2+13x+2008=0 (1)$
Biết rằng phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm thực, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm thực
$4(ax^3+21x^2+13x+2008)(3ax+21)=(3ax^2+42x+13)^2$(1)

(Học sinh giỏi Hải Phòng 2008-2009, nhóm không chuyên)

Theo nguyện vọng các em, CD13 trình bày vắn tắt hướng giải bài 76, bài 77 thì CD13 lại thấy cũng đơn giản mà!

Đặt $f(x)=ax^3+21x^2+13x+2008$ nên phương trình $(1)$ có thể viết lại: $2f(x).f"(x)=[f'(x)]^2$

Lại đặt $g(x)=2f(x).f"(x)-[f'(x)]^2 \to g'(x)=2f(x).f'''(x)\\=12a^2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
với $x_1<x_2<x_3$ là nghiệm của $f(x)=0$.

Lập bảng biến thiên dành cho $g(x)$ ta thấy $g(x)$ đạt cực đại tại $x=x_2$, thế nhưng $g(x_2)=-[f'(x_2)]^2<0$ dẫn đến $g(x)=0$ có đúng $2$ nghiệm nên phương trình $(1)$ có đúng $2$ nghiệm.


P/s: Đang tự hỏi, hệ số của $f(x)$ đóng vai trò gì trong đề bài này nhỉ? Chẳng lẽ là ngày thi HSG: 21/13/2008, nhưng làm gì có tháng 13? Sau này nên đổi lại là 30-04-1988 cho đẹp vì đây là.............ngày sinh của CD13! He he

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 07-09-2012 - 00:32

[899225]

[T M]

Bạn làm ơn ghi rõ số bài, nguồn của bài toán

$$--------------------------------------------------------$$

Bài 82. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
8\left ( x^2+y^2 \right ) +4xy+\frac{5}{(x+y)^2}=13 \\ 2x+\frac{1}{x+y}=1
\end{cases}$$

Đề thi HSG Thái Nguyên 2011 - 2012 $\heartsuit$

Bài này cũng xuất hiện tương đối nhiều rồi



Bài 83. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
(2x-y)^2=4+z^2 \\ (z-y)^2=4x^2+2 \\ (z+2x)^2=y^2+3
\end{cases}$$

Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm 2011 - 2012 dành cho học sinh không chuyên

Bài 84. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
xy-x+y=3 \\ 4x^3+12x^2+9x=-y^3+6y+5
\end{cases}$$

Đề thi chọn đội tuyển trường Chuyên Đại Học Vinh

Bài này thú vị đây $\heartsuit$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 08-09-2012 - 17:53

[T M]

Bài 84. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
xy-x+y=3 \\ 4x^3+12x^2+9x=-y^3+6y+5
\end{cases}$$

Đề thi chọn đội tuyển trường Chuyên Đại Học Vinh

$$--------------------$$

Một lời giải bằng phương pháp trâu bò cho bài này

Lời giải.

Biến đổi

$$\text{HPT}\Leftrightarrow \begin{cases}
y=\frac{3+x}{x+1} \\ 4x^3+12x^2+9x=-y^3+6y+5
\end{cases}\Rightarrow 4x^3+12x^2+9x=-\left ( \frac{3+x}{x+1} \right )^3+6.\left ( \frac{3+x}{x+1} \right )+5$$

Nhân tung hết ra, chuyển vế, rút gọn được

$$\frac{4x^6+24x^5+57x^4+57x^3+3x^2-21x+4}{(x+1)^3}=0$$

Nhận thấy phương trình có các nghiệm là $x_1+x_2=\frac{-3}{2};x_1x_2=\frac{-1}{2}\Rightarrow A(x)=\frac{Q(x).\left ( x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right )}{(x+1)^3}$

Đến đây thực hiện phép chia đa thức cho đa thức được

$$Q(x)=4x^4+18x^3+32x^2+18x-8$$

Lại có $Q(x)$ có các nghiệm giống với $A(x)$, dễ có

$$Q(x)=\left ( x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right )\left ( 4x^2+12x+16 \right )\Rightarrow A(x)=\frac{\left ( x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right )^2\left ( 4x^2+12x+16 \right )}{(x+1)^3}$$

Giải ra được

$$\left[\begin{matrix}x=\frac{1}{4}.\left ( -3-\sqrt{17} \right ) \\ x=\frac{1}{4}\left ( \sqrt{17}-3 \right ) \end{matrix}\right.$$

__

Phù ........=; Chỗ in nghiêng là nháp nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 08-09-2012 - 18:38

[minhdat881439]

Bài 82. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
8\left ( x^2+y^2 \right ) +4xy+\frac{5}{(x+y)^2}=13 \\ 2x+\frac{1}{x+y}=1
\end{cases}$$

Đề thi HSG Thái Nguyên 2011 - 2012 $\heartsuit$

Bài này cũng xuất hiện tương đối nhiều rồi

Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} 5(x+y)^{2}+3(x-y)^{2}+\frac{5}{(x+y)^{2}}=13 & \\ x+y+x-y+\frac{1}{x+y}=1 & \end{matrix}\right.$
Đặt: $\left\{\begin{matrix} a=x+y & \\ b=x-y & \\ a+\frac{1}{a}=t (\left | t \right |\geq 2) & \end{matrix}\right.$ ta được:
$\left\{\begin{matrix} 5t^{2}+3b^{2}=23 & \\ t+b=1 & \end{matrix}\right.$
Dễ dàng tìm được: t=2$\Rightarrow b=-1\Rightarrow a=1$
Từ đó hệ có nghiệm: (0;1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 13-09-2012 - 13:27