Chủ đề này có 327 trả lời

[nthoangcute]

Bài 84. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
xy-x+y=3 \\ 4x^3+12x^2+9x=-y^3+6y+5
\end{cases}$$

Cách làm siêu ngắn:
Từ giả thiết ta có $(x+y+1)(2x-y+2)^2=(4x^3+12x^2+9x+y^3-6y-5)-3(y+1)(xy-x+y-3)=0$
Suy ra $x=-y-1$ hoặc $x=\frac{y-2}{2}$
Từ đó ta sẽ tìm được nghiệm...

Bài 83. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
(2x-y)^2=4+z^2 \\ (z-y)^2=4x^2+2 \\ (z+2x)^2=y^2+3
\end{cases}$$

Cách làm ngắn hơn:
Ta có $(2x-y+z+3)(2x-y+z-3)=(2x-y)^2-4-z^2+(z-y)^2-4x^2-2+(z+2x)^2-y^2-3=0$
Suy ra ...
_______________________________
Cách làm của lù bù xù hắc lào là bước đường cùng của xã hội !!!

luxubuhl:Nếu không đoán được nghiệm thì làm sao biết nhân với $y+1$ nhỉ
nthoangcute: Thế giả sử là biết trước nghiệm thì làm sao mà biết nhân với $y+1$ được ???
________________
Mình dùng hằng số biến thiên mới tìm ra được $y+1$ đó !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 27-11-2012 - 19:21

[thanhelf96]

mình có thể đăng vài bài được không:
1)$x^{2}+\frac{a^{2}.x^{2}}{(x+a)^{2}}= 8a^{2}$
2)$\frac{2x}{2x^2-5x+3}+\frac{13x}{2x^2+x+3}=6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhelf96: 16-09-2012 - 15:40

[Spin9x]

$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Trích : Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm 2011-2012

[minhdat881439]

$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Trích : Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm 2011-2012

PT$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^{3}+x^{2}-2x+(x^{2}-x+1)}{x^{2}+2}$
Đặt t=$\sqrt{x^2-x+1}$;$t\geq 0$ ta được:
$(x^{2}+2)t=x^{3}+x^{2}-2x+t^{2}$
$\Leftrightarrow t^{2}-(x^{2}+2)t+x^{3}+x^{2}-2x=0$
$\Delta =x^{4}-4x^{3}+8x+4=(x^{2}-2x+2)^{2}$
$\Rightarrow t=\frac{ x^{2}+2\pm \left | x^{2}-2x-2 \right |}{2} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=x^{2}-x & \\ t=x+2 & \end{bmatrix}$
+ t=$x^{2}-x$:$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$(thỏa)
+t=x+2:$\Rightarrow x=\frac{-3}{5}$(thỏa)
Vậy...

[minhdat881439]

mình có thể đăng vài bài được không:
2)$\frac{2x}{2x^2-5x+3}+\frac{13x}{2x^2+x+3}=0$

Nếu x=0: thỏa
Nếu x$\neq 0$ :
PT$\Leftrightarrow \frac{2}{2x+\frac{3}{x}-5}+\frac{13}{2x+\frac{3}{x}+1}=0$
Đặt t=$2x+\frac{3}{x}$ (1)ta có:
$\Leftrightarrow \frac{2}{t-5}+\frac{13}{t+1}=0\Leftrightarrow t=\frac{43}{15}$ thế vào (1) ta thấy vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0

[T M]

mình có thể đăng vài bài được không:
1)$x^{2}+\frac{a^{2}.x^{2}}{(x+a)^{2}}= 8a^{2}$

Còn nốt bài này

Xét $a\neq 0$ có

$$x^2+\frac{x^2}{\left ( \frac{x}{a}+1 \right )^2}=8a^2\Leftrightarrow \left ( \frac{x}{a} \right )^2+\frac{(x/a)^2}{\left ( \frac{x}{a}+1 \right )^2}=8\Leftrightarrow t^2+\frac{t^2}{(t+1)^2}=8\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t=-2 \\ t=1-\sqrt{3} \\ t=1+\sqrt{3} \end{matrix}\right.$$

Dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình

[thanhelf96]

1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$
2) $2x^2 + 2x +1 = \sqrt{4x+1}$
3)$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2 - 1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}= 2$
nốt 3 bài này được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhelf96: 16-09-2012 - 15:55

[Spin9x]

$4\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt[3]{x^6-208}=2(x-2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Spin9x: 18-09-2012 - 21:54

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Tiếp tục với bài hệ trong đề chọn đội tuyển Hưng Yên vừa thi xong :
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
$$ \left\{\begin{matrix}
m(x^2+\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1)=xy & \\ m(\sqrt[3]{x^8}+x^2+\sqrt[3]{x^2}+1)=(2y+1-m)\sqrt[3]{x^4}
&
\end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 27-11-2012 - 20:22

[triethuynhmath]

2) $2x^2 + 2x +1 = \sqrt{4x+1}$

Đặt $a=\sqrt{4x+1}\Rightarrow 2x^2+2x+1=\frac{a^4+2a^2+5}{8}=a\Leftrightarrow a^4+2a^2-8a+5=0\Leftrightarrow a^2(a-1)(a+1)+3a(a-1)-5(a-1)=0\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+3a-5)=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow x=0$

[Ispectorgadget]

Bài .....: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
6{x^2} + {y^2} - 5xy - 7x + 3y + 2 = 0\\
\frac{{x - y}}{3} = \ln (x + 2) - \ln (y + 2)
\end{array} \right.\]
Đề thi HSG Huế 2006-2007

[T M]

Mùa HSG năm 2012 - 2013 đã bắt đầu được một thời gian, một số tỉnh đã chọn xong đội tuyển, chúng ta tiếp tục hâm nóng topic bằng một số bài thi của năm nay Hi vọng các bạn tham gia nhiệt tình.

______

Chú ý: Không post những bài không rõ nguồn gốc, đánh số bài đầy đủ

_______

Bài 86. Giải phương trình

$$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{5x-1}\sqrt{5-2x}=18x+32$$

Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2012/2013

Bài 87. Giải phương trình

$$\sqrt{2-\sqrt{2}(x+1)}+\sqrt[4]{2x}=1$$

Đề thi chọn đội tuyển trường chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2012/2013

______

Một số bài mình đã post rồi, nhưng cứ gửi vào đây cho đầy đủ

Đây đều là những bài thi chọn đội tuyển của một số trường chuyên nên khá khó Mọi người cố gắng nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 02-10-2012 - 12:39

[tuithichtoan]

Bài 86:
Đk:$ \frac{1}{5}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Có $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12.\sqrt{5x-1}.\sqrt{5-2x}=18+32$ (1)
Đặt $\sqrt{5x-1}=a$ ($a\geq 0$)
$\sqrt{5-2x}=b$ ($b\geq 0$)
$\Rightarrow 2a^{2}+5b^{2}=23$ (2)
Và $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (a^{2}+3b^{2}+12)a-(3a^{2}+b^{2}+12)b+ab=6a^{2}+6b^{2}+8$
$\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})-6(a^{2}-12ab+b^{2})+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{3}-6(a-b)^{2}+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b-2)^{3}=0$
$\Rightarrow a=b+2$
Theo (2) có $2a^{2}+5b^{2}=23$
$\Rightarrow 2(b+2)^{2}+5b^{2}-23=0 ....$

[tuithichtoan]

1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$

1, Có $x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (a^{2}+2ax+x^{2})-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(a+x)=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (x+a)^{2}-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=0$
$\Leftrightarrow ((x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}})((x+a)+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+1)=0$
Th1:$x+a=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
Đk: $x\geq -a$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a-1)+\frac{1}{16}=0$
$\Leftrightarrow x=...$
Th2:$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=-x-a-1$
Đk: $x\leq -a-1$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a+1)+2a+\frac{17}{16}=0$
$\Rightarrow x=...$

[nthoangcute]

Bài 87. Giải phương trình
$$\sqrt{2-\sqrt{2}(x+1)}+\sqrt[4]{2x}=1$$

Đặt $\sqrt[4]{2x}=k \geq 0$
Suy ra $x=\dfrac{k^4}{2}$
$$\sqrt{2-\sqrt{2}(x+1)}+\sqrt[4]{2x}=1$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{2\sqrt{2}-k^4-2}{\sqrt{2}}}=1-k$$
$$\Rightarrow 2\sqrt{2}-k^4-2=\sqrt{2}(k-1)^2$$
$$\Leftrightarrow (k^2-\sqrt[4]{2} k+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}) (k^2+\sqrt[4]{2} k+\sqrt{2}+\sqrt[4]{2})=0$$
$$\Leftrightarrow k=\dfrac{\sqrt[4]{2}}{2} \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{-3\sqrt{2}+4 \sqrt[4]{2}}$$
Suy ra $x=\dfrac{1}{16} (\pm 1 + \sqrt{-3+2 \sqrt[4]{8}})^4$
Thử lại thấy thỏa mãn

[nthoangcute]

Bài $ab$ (biết $a-b=3,b \vdots 5$): Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
6{x^2} + {y^2} - 5xy - 7x + 3y + 2 = 0\\
\frac{{x - y}}{3} = \ln (x + 2) - \ln (y + 2)
\end{array} \right.\]

Ta thấy: $6{x^2} + {y^2} - 5xy - 7x + 3y + 2 = (3x-y-2)(2x-y-1)=0$
Suy ra $y=3x-2$ hoặc $y=2x-1$
Nếu $y=3x-2$ thì $\frac{{x - y}}{3} = \ln (x + 2) - \ln (y + 2) \Leftrightarrow \dfrac{-2x+2}{3}= \ln (x+3)- \ln (3x)$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{-2x+2}{3}- \ln (x+3)+ \ln (3x)$
$f'(x)=-\dfrac{2x^2+6x-9}{3x (x+3)}$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x= -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Vẽ bảng biến thiên ta thấy $f(x)=0$ vô nghiệm.
Nếu $y=2x-1$ thì $\frac{{x - y}}{3} = \ln (x + 2) - \ln (y + 2) \Leftrightarrow 3\ln (x+3)- 3\ln (3x)+x-1=0$
Xét hàm số $f(x)=3\ln (x+3)- 3\ln (3x)+x-1$
$f'(x)=\dfrac{x^2+3x-9}{x(x+3)}$
Tương tự trường hợp kia ta cũng thấy vô nghiệm

[thanhdatpro16]

Cho 2 PT
$x^{2}+px+q=0$
$x^{2}+mx+n=0$
Giả sử $\alpha$ là một nghiệm của phương trình thứ nhất, $\beta$ là nghiệm của PT thứ hai. CMR $\alpha =k\beta$ khi và chỉ khi: $(q-k^2n)+k(p-km)(knp-qm)=0$
(ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CỦA TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP.HCM -2012-2013)

[camthach189]

ĐỀ thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc (02/11/2012 môn toán- thpt Chuyên)


$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} & \\
y^{2}+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} & \\
z^{2}+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}&
\end{matrix}\right.$
cả 3 phương trình trên là một hệ phương trình nhé, ko biết sao lại đánh ko ra cái dấu hệ phương trình??
mod: công thức kẹp trong cặp thẻ đô la ($ ) nhé bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 27-11-2012 - 19:04

[minhdat881439]

ĐỀ thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc (02/11/2012 môn toán- thpt Chuyên)


$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} & \\
y^{2}+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} & \\
z^{2}+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}&
\end{matrix}\right.$

mod: công thức kẹp trong cặp thẻ đô la ($ ) nhé bạn

Giả sử : $x\geq y\geq z$
Xét $f(t)=t^2+3t+2$ và $g(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}$ với $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
f(t) là hàm đồng biến,g(t) là hàm nghịch biến trên khoảng $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
Suy ra $f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)$
Lại có $g(y)\leq g(z)$
Nên $g(y)=g(z)$ suy ra $y=z$
Chứng minh tương tự ta được: $x=y$
Suy ra $x=y=z$
Thế vào phương trình trên ta giải được
$(x;y;z)=(1;1;1)$

[camthach189]

Giả sử : $x\geq y\geq z$
Xét $f(t)=t^2+3t+2$ và $g(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}$ với $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
f(t) là hàm đồng biến,g(t) là hàm nghịch biến trên khoảng $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
Suy ra $f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)$
Lại có $g(y)\leq g(z)$
Nên $g(y)=g(z)$ suy ra $y=z$
Chứng minh tương tự ta được: $x=y$
Suy ra $x=y=z$
Thế vào phương trình trên ta giải được
$(x;y;z)=(1;1;1)$

Bài giải:
Điều kiện: $x,y,z \geq \frac{1}{5}$ .
$Xét các hàm số:f(x)=t^{2}+3t+2; g(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}.
Khi đó ta có f'(t)=2t+3>0 ;g'(t)=-\frac{8}{t^{2}}-\frac{5}{2\sqrt{5t-1}}<0, mọi t>\frac{1}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi camthach189: 21-11-2012 - 19:29