Chủ đề này có 327 trả lời

[T M]

Bài toán 1. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2y^2-8x+y^2=0 & & \\ 2x^2-4x+10+y^3=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Yên 2010-2011

Bài toán 2. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+1+y^2+xy=4y & & \\
x+y-2=\frac{y}{x^2+1}& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Thọ 2010-2011

Bài toán 3. Giải phương trình

$$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^3-27x^2+13x-2$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Hải Dương 2010-2011

Mọi người cùng thảo luận, tìm ra cách giải tốt nhất nhoé :X:D

-----------------

P/S: Giải quyết hiện tượng "thèm" bài cho 1 số thành viên Chặt chém nào !!!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 15-07-2012 - 16:42

[tkvn97]

Bài 4. Giải hệ PT : $$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0& \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:33

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bài toán 3. Giải phương trình

$$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^3-27x^2+13x-2$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Hải Dương 2010-2011




P/S: Giải quyết hiện tượng "thèm" bài cho 1 số thành viên Chặt chém nào !!!!!!!

Bài này sử dụng ý tưởng quen thuộc là đưa về hàm số

$ PT \Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt[3]{2x-1}=(3x-1)^3+2(2x-1) $

Tới đây xét hàm $ f(t)=t^3+2t $

Dễ suy ra $ f(t) $ đồng biến nên $ \sqrt[3]{2x-1}=3x-1 $

Từ đây dễ tìm được nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:33

[khanh3570883]

Bài toán 3. Giải phương trình

$$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^3-27x^2+13x-2$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Hải Dương 2010-2011

Thủ tiêu câu dễ nhất!
PT viết lại thành:
\[{\left( {3x - 1} \right)^3} + 4x - 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}\]
Đặt: $3y - 1 = \sqrt[3]{{2x - 1}}$
Ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3x - 1} \right)^3} = 6y - 4x - 1 \\
{\left( {3y - 1} \right)^3} = 2x - 1 \\
\end{array} \right.\]
Trừ vế với vế:
\[\begin{array}{l}
3\left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + \left( {3x - 1} \right)\left( {3y - 1} \right) + {{\left( {3y - 1} \right)}^2} + 2} \right] = 0 \\
\Rightarrow x = y \Rightarrow x\left( {27{x^2} - 27x + 7} \right) = 0 \Rightarrow x = 0 \\
\end{array}\]

[khanh3570883]

Bài toán 2. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+1+y^2+xy=4y & & \\
x+y-2=\frac{y}{x^2+1}& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Thọ 2010-2011

Thủ tiêu câu nữa!
Rút ${x^2} + 1 = 4y - xy - {y^2}$ từ pt đầu thay vào pt sau, ta có:
\[x + y - 2 = \frac{1}{{4 - \left( {x + y} \right)}} \Rightarrow x + y = 3\]
Thế vào pt đầu thu được nghiệm.

[khanh3570883]

Bài toán 1. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2y^2-8x+y^2=0 & & \\ 2x^2-4x+10+y^3=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Yên 2010-2011

Ám sát nốt câu này!
Coi hai pt của hệ như pt bậc 2 đối với x. Ta có:
PT 1: $\Delta = 64 - 4{y^4} \ge 0 \Rightarrow - 2 \le y \le 2$
PT2 : $\Delta = - 64 - 8{y^3} \ge 0 \Rightarrow y \le - 2$
Vậy $y = 2$, từ đó suy ra x

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Câu này các anh (chị) giải luôn đi nhé .để em tham khảo các hướng đi , Em giải ra nghiệm (2,1)

bài này em có chép sai đề không? xem anh sửa lại đề ở trên kia đúng chưa. chỗ $ 2^{x+y} $ ấy

[T M]

Bài 4. Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0& \end{matrix}\right.$

Nếu bạn ghi được nguồn bài thì tốt quá !

$(1) \Longrightarrow 2^{2x-y}+(2x-y)\sqrt{2x-y}=2^{x+y}+(x+y)\sqrt{x+y}$

Xét

$f(t)=2^{t^2}+t^3 \Longrightarrow f'(t)=2t.ln2.2^{t^2}+3t^2>0 \Longrightarrow 2x-y=x-y \Longrightarrow x=2y$

Thế vào $(2)$ được

$\sqrt[3]{y}-2(2y-1)^3+1=0 \Longrightarrow y=1$

P/S: Hình như sai đề rồi nhoé

P/S 2: Bà con chém nhiệt tình nhẩy =))=))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 14-07-2012 - 22:04

[T M]

Làm phát nữa cho nó máu

Bài toán 5. Giải phương trình

$$x^3+x^2-3x-1=2\sqrt{x+2} $$ với $x\in [-2;2]$

Đề thi HSG tỉnh Long An Vòng 2 - 10/11

Bài toán 6. Giải phương trình

$$(5x-6)^2-\frac{1}{\sqrt{5x-7}}=x^2-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$$

Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh vòng 1 - 10/11

Quảng Ninh quê ta ơi =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 14-07-2012 - 22:08

[khanh3570883]

Bài 4. Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0& \end{matrix}\right.$

Bài này không sai đâu!
PT 1: ${2^{2x - y}} + \left( {2x - y} \right)\sqrt {2x - y} = {2^{x + y}} + \left( {x + y} \right)\sqrt {x + y} $
Xét hàm: $f\left( t \right) = {2^t} + t\sqrt t $
Hàm đồng biến nên $2x - y = x + y \Rightarrow x = 2y$, thế vào PT 2:
\[2{\left( {2y - 1} \right)^3} - 1 = \sqrt[3]{y}\]
Đặt: $\sqrt[3]{y} = 2a - 1$
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2y - 1} \right)^3} = a \\
{\left( {2a - 1} \right)^3} = y \\
\end{array} \right.\]
Hệ này ngon rồi!

[T M]

Bài toán 6. Giải phương trình

$$(5x-6)^2-\frac{1}{\sqrt{5x-7}}=x^2-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$$

Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh vòng 1 - 10/11

Quảng Ninh quê ta ơi =))

Quê em, em xin chém !!!!!!!!

Xét $f(t)=t^2-\frac{1}{\sqrt{t-1}} \Longrightarrow f'(t)=2t+\frac{1}{2.(t-1)^{3/2}}>0$

Nên $4x=6..........$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 23-07-2012 - 16:29

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Làm phát nữa cho nó máu



Bài toán 6. Giải phương trình

$$(5x-6)^2-\frac{1}{\sqrt{5x-7}}=x^2-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$$

Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh vòng 1 - 10/11

Quảng Ninh quê ta ơi =))

vấn là ý tưởng dùng hàm số với hàm sinh của bài này là $ f(t)=t^2-\frac{1}{\sqrt{t-1}} $

ta có $f'(t)= 2t + \frac{1}{2\sqrt{(t-1)^3}} >0 \forall t >1 $

mà $ f(5x-6)=f(x) $ nên $ x=\frac{3}{2} $

[longqnh]

Làm phát nữa cho nó máu

Bài toán 5. Giải phương trình

$$x^3+x^2-3x-1=2\sqrt{x+2} $$ với $x\in [-2;2]$

Đề thi HSG tỉnh Long An Vòng 2 - 10/11

ĐK: \[x \ge - 2\]
\[\begin{array}{l}
<=> {\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 1} \right)^2} = 4\left( {x + 2} \right) \\
<=> \left( {x + 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} - 6{x^3} - 2{x^2} + 9x - 7} \right) = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0 \\
{x^5} + {x^4} - 6{x^3} - 2{x^2} + 9x - 7 = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]

P.s: ai đó giải dùm cái PT bậc 5 kia cái !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 18:34

[T M]

Bài toán 7. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^4+5y=6 & & \\
x^2y^2+5x=6 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển tỉnh Đồng Nai

--------------

Chốt nốt bài hôm nay rồi đi ngủ

Bài toán 8. Giải hệ phương trình


$$\left\{\begin{matrix}
x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} & & \\ 7y^4+13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3x^2+3y^2-1)}
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG TPHCM - Vòng 1 - 10/11

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 14-07-2012 - 22:33

[longqnh]

Bài toán 7. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^4+5y=6 & & \\
x^2y^2+5x=6 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển tỉnh Đồng Nai
--------------

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + 5y = 6{\rm{ }}(1) \\
{x^2}{y^2} + 5x = 6{\rm{ }}(2) \\
\end{array} \right.\]
Lấy $(1) - (2)$, ta có
\[\begin{array}{l}
{x^4} - {x^2}{y^2} + 5\left( {y - x} \right) = 0 \\
<=> {x^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 5\left( {y - x} \right) = 0 \\
<=> {x^2}\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + 5\left( {y - x} \right) = 0 \\
<=> \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2}\left( {x + y} \right) - 5} \right] = 0 \\
\end{array}\]
Sau đó thực hiện phép thế tìm nghiệm của hpt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 14-07-2012 - 22:56

[Ispectorgadget]

Bài 9: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4xy + x + 2y = 0\\
{x^4} - 8{x^2}y + 3{x^2} + 4{y^2} = 0
\end{array} \right.\]
Thi HSG Hà Tĩnh 2010-2011
Bài 10: Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = y({x^2} + 1)\\
3{y^3} = z({y^4} + {y^2} + 1)\\
4{z^4} = x({z^6} + {z^4} + {z^2} + 1)
\end{array} \right.\]
Thi HSG Nghệ An 2006-2007

[T M]

Bài 9: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4xy + x + 2y = 0\\
{x^4} - 8{x^2}y + 3{x^2} + 4{y^2} = 0
\end{array} \right.\]
Thi HSG Hà Tĩnh 2010-2011

Éc éc mãi mới xoắn được bài của Kiên

$$\text{HPT} \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2-4xy+x+2y=0 & & \\ \left ( x^2+2y \right )^2+3x^2-12x^2y=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Xét $x=0,..............$

Xét $x \neq 0,.............$ được

$$\left\{\begin{matrix}
x+\frac{2y}{x}+1-4y=0 & & \\
(x+\frac{2y}{x})^2+3-12y=0 & &
\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=0 & & \\a^2+3b=0
& &
\end{matrix}\right. \Longrightarrow a^2-3a=0 \Longrightarrow \left [ \begin{matrix} a=0 \\ a=3 \end{matrix} \right.$$

-----------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 15-07-2012 - 18:18

[khanh3570883]

Bài 10: Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = y({x^2} + 1)\\
3{y^3} = z({y^4} + {y^2} + 1)\\
4{z^4} = x({z^6} + {z^4} + {z^2} + 1)
\end{array} \right.\]
Thi HSG Nghệ An 2006-2007

TH1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0
TH2: Với $x \ne 0$ thì ta suy ra x, y, z > 0.
\[\begin{array}{l}
2{x^2} = y\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 2xy \Leftrightarrow x \ge y \\
3{y^3} = z\left( {{y^4} + {y^2} + 1} \right) \ge 3{y^2}z \Leftrightarrow y \ge z \\
4{z^4} = x\left( {{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1} \right) \ge 4{z^3}x \Leftrightarrow z \ge x \\
\end{array}\]
\[ \Rightarrow x = y = z\]
Thay vào Pt đầu cho ta nghiệm!

[Crystal]

Bài toán 8. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} & & \\ 7y^4+13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3x^2+3y^2-1)}
& &
\end{matrix}\right.$$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho ${y^{11}} \ne 0$, ta được:
\[{\left( {\frac{x}{y}} \right)^{11}} + \frac{x}{y} = {y^{11}} + y\]
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right) = {t^{11}} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 11{t^{10}} + 1 > 0$. Suy ra hàm $f$ tăng.

Từ phương trình, suy ra: $f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f\left( y \right) \Rightarrow \frac{x}{y} = y \Leftrightarrow x = {y^2}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
\[7{y^4} + 13{y^2} + 8 = 2{y^4}\sqrt[3]{{{y^2}\left( {3{y^4} + 3{y^2} - 1} \right)}}\]
...

[minhdat881439]

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho ${y^{11}} \ne 0$, ta được:
\[{\left( {\frac{x}{y}} \right)^{11}} + \frac{x}{y} = {y^{11}} + y\]
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right) = {t^{11}} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 11{t^{10}} + 1 > 0$. Suy ra hàm $f$ tăng.

Từ phương trình, suy ra: $f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f\left( y \right) \Rightarrow \frac{x}{y} = y \Leftrightarrow x = {y^2}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
\[7{y^4} + 13{y^2} + 8 = 2{y^4}\sqrt[3]{{{y^2}\left( {3{y^4} + 3{y^2} - 1} \right)}}\]
...

Đến đó giải phương trình sao nhỉ