Chủ đề này có 1 trả lời

[wallunint]

1 bài lượng giác khủng T.T
Mong tìm đc 1 lời giải sơ cấp cho bài toán này (ko xét hàm nhá)

Cho tam giác $ABC$ bất kì và hằng số $k \le \frac{8}{7}$. Chứng minh:
\[\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}} + 8k\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \ge 4 + k\]

[duongvanhehe]

1 bài lượng giác khủng T.T
Mong tìm đc 1 lời giải sơ cấp cho bài toán này (ko xét hàm nhá)

Cho tam giác $ABC$ bất kì và hằng số $k \le \frac{8}{7}$. Chứng minh:
\[\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}} + 8k\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \ge 4 + k\]

Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp $k=\frac{8}{7}$,tương đương với
$\frac{3\sqrt{3}}{2}+k\sin A\sin B\sin C\geq (4+k)\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$

Đặt $f(A,B,C)=VT$ khi đó $f\left ( \frac{A+B}{2},\frac{A+B}{2},C \right )=k\sin ^{2}\left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin C-(4+k)\cos^{2} \left ( \frac{A+B}{4} \right )\cos \frac{C}{2}=\frac{k}{2}(1-\cos (A+B))\sin C-\frac{4+k}{2}(1+\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right ))\cos \frac{C}{2}$
Ta có$P= f(A,B,C)-f\left ( \frac{A+B}{2}, \frac{A+B}{2},C \right )=\frac{1}{2}k\sin C\left (\cos (A-B)-1 \right )+\frac{4+k}{2}\cos \frac{C}{2}\left ( 1-\cos \frac{A-B}{2} \right )=\cos \frac{C}{2}\left ( 1-\cos \frac{A-B}{2} \right )\left [ \frac{4+k}{2}-2k\sin \frac{C}{2}\left ( 1+\cos \frac{A-B}{2} \right ) \right ]$
không giảm tính tổng quát,giả sử$C=min\left \{ A,B,C \right \}$$\Rightarrow $$C\leq 60^{\circ}$
$\Leftrightarrow $ $\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{2}$ $\Rightarrow $$\frac{4+k}{2}-2k\sin \frac{C}{2}\left ( 1+\cos \frac{A-B}{2} \right )\geq \frac{4+k}{2}-2k\geq 0$ do$k\leq \frac{8}{7}$
$\Rightarrow $$P\geq 0$.Do đó ta chỉ cần chứng minh được$f\left ( \frac{A+B}{2},\frac{A+B}{2},C \right )\geq 0$ là xong.Hay là:$\frac{3\sqrt{3}}{2}+k\sin C\cos ^{2}\frac{C}{2}-\frac{4+k}{2}\cos \frac{C}{2}\left ( 1+ \sin \frac{C}{2}\right )\geq 0$.
Đây là một BĐT một biến nên chỉ cần xét hàm là xong.