Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $$(x-1)(y-1)(z-1) \le 6\sqrt{3}-10$$
Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva

[kainguyen]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $$(x-1)(y-1)(z-1) \le 6\sqrt{3}-10$$
Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva

Do giả sử: Nếu có 2 số không lớn hơn 1 và 1 số lớn hơn 1, không giảm tổng quát, giả sử đó là $z$.

Khi đó ta có: $xy \le 1$

Ta có: $x+y=z(xy-1)<0$. Vô lý. Do đó không thể xảy ra TH này.

Khi đó, ta xét 2 TH sau:

TH1: Nếu có 1 hoặc cả 3 số không lớn hơn 1 thì hiển nhiên có đpcm.

TH2: Cả 3 số đều lớn hơn 1. Đặt: $a=x-1;b=y-1;c=z-1$

Khi đó, ta có $x+y+z=xyz$ trở thành:

$a+b+c+3=(a+1)(b+1)(c+1)$

$\Leftrightarrow 2=abc+ab+bc+ca\leq abc+3\sqrt[3]{abc}$

Từ $2\leq abc+3\sqrt[3]{abc}$ ta suy ra được: $abc\le 6\sqrt{3}-10$.

Vậy bđt được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=\sqrt{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 17-07-2012 - 22:10