Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $$(x-1)(y-1)(z-1) \le 6\sqrt{3}-10$$
Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva
Chứng minh rằng $(x-1)(y-1)(z-1) \le 6\sqrt{3}-10$
Bắt đầu bởi Ispectorgadget, 16-07-2012 - 21:36
#1
Đã gửi 16-07-2012 - 21:36
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 17-07-2012 - 22:10
Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $$(x-1)(y-1)(z-1) \le 6\sqrt{3}-10$$
Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva
Do giả sử: Nếu có 2 số không lớn hơn 1 và 1 số lớn hơn 1, không giảm tổng quát, giả sử đó là $z$.
Khi đó ta có: $xy \le 1$
Ta có: $x+y=z(xy-1)<0$. Vô lý. Do đó không thể xảy ra TH này.
Khi đó, ta xét 2 TH sau:
TH1: Nếu có 1 hoặc cả 3 số không lớn hơn 1 thì hiển nhiên có đpcm.
TH2: Cả 3 số đều lớn hơn 1. Đặt: $a=x-1;b=y-1;c=z-1$
Khi đó, ta có $x+y+z=xyz$ trở thành:
$a+b+c+3=(a+1)(b+1)(c+1)$
$\Leftrightarrow 2=abc+ab+bc+ca\leq abc+3\sqrt[3]{abc}$
Từ $2\leq abc+3\sqrt[3]{abc}$ ta suy ra được: $abc\le 6\sqrt{3}-10$.
Vậy bđt được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=\sqrt{3}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 17-07-2012 - 22:10
- no matter what yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh