Chủ đề này có 3 trả lời

[henry0905]

Chứng minh: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$
P/s: Có cách nào khác ngoài quy nạp không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 16-07-2012 - 23:24

[kainguyen]

Chứng minh: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$ (1)

Với $n=1$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng với $n=k$ tức là:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$

Ta sẽ cm (1) đúng với $n=k+1$ tức là cm:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$

Thật vậy, ta có:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$

$\Leftrightarrow (1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)$

$\Leftrightarrow (k+1)^3=(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)$

Mà: $(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)^2+2.\frac{k(k+1)(k+1)}{2}=(k+1)^3$

Do đó (1) đúng với $n=k+1$

Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 16-07-2012 - 23:23

[hxthanh]

Chứng minh: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$
P/s: Có cách nào khác ngoài quy nạp không?

Trước hết thì: $1+2+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$ (Cái này thì xin phép không CM)

$1^3=1^2$
$2^3=(1+2)^2-1^2$
$3^3=(1+2+3)^2-(1+2)^2$
...
$k^3=(1+2+...+k)^2-(1+2+...+(k-1))^2\quad\left(=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}-\dfrac{k^2(k-1)^2}{4}\right)$
...
$n^3=(1+2+...+n)^2-(1+2+...+(n-1))^2$

Cộng các đẳng thức trên lại ta có điều cần chứng minh

[Beautifulsunrise]

Chứng minh: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$
P/s: Có cách nào khác ngoài quy nạp không?

Trước hết, dễ thấy với mọi x ta có:
x = $\frac{1}{2}$.[x(x + 1) - (x - 1).x] (1)
x(x + 1) = $\frac{1}{3}$.[x(x + 1)(x + 2) - (x - 1).x(x + 1)] (2)
$x^2$ = x(x + 1) - x (3)
x(x + 1)(x + 2) = $\frac{1}{4}$.[x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (x - 1).x(x + 1)(x + 2)] (4)
$x^3$ = x(x +1)(x + 2) - 3$x^2$ - x (5)
Lần lượt thay x = 1; 2; 3; ...; n vào các công thức (1), (2), (3), (4) và (5) ta được:
$\sum\limits_{k = 1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum\limits_{k = 1}^n k(k+1) =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\sum\limits_{k = 1}^n k^2 =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum\limits_{k = 1}^n k(k+1)(k+2) =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}$
$=[\frac{n(n+1)}{2}]^2.$ => đpcm.