Chủ đề này có 2 trả lời

[zone]

mọi người giúp mình bài này
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. M là một điểm nằm trong miền tam giác ABC. Gọi góc giữa SM với SA, SB, SC lần lượt là x,y,z. Chứng minh hệ thức $ cos^2 x+cos^2 y+cos^2 z =1$

[leminhansp]

Bài này bạn có thể giải theo cách sau:


Đặt hình chóp vào hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $Oxy$ sao cho $S$ trùng với $O$, $A$ nằm trên trục $Oz$, $B$ nằm trên trục $Ox$, $C$ nằm trên trục $Oy$
Giả sử, điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ có tọa độ là $(a,b,c)$, khi đó góc giữa $SM$ và cách cạnh $SA,SB,SC$ là góc giữa véctơ $\overrightarrow{SM}$ với các véctơ đơn vị $\overrightarrow{h,}$ $\overrightarrow{i,}$ $\overrightarrow{j}$ của các trục tọa độ $Oz,Ox,Oy$.
Do đó:
${{\cos }^{2}}x=\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$, ${{\cos }^{2}}y=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$, ${{\cos }^{2}}z=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 18-07-2012 - 01:37

[kainguyen]

mọi người giúp mình bài này
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. M là một điểm nằm trong miền tam giác ABC. Gọi góc giữa SM với SA, SB, SC lần lượt là x,y,z. Chứng minh hệ thức $ cos^2 x+cos^2 y+cos^2 z =1$

Cách khác:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với DM, cắt SA, SB, SC lần lượt tại: A', B', C'.

Khi đó hình chóp S.A'B'C' là tứ diện vuông có đường cao là DM.

Theo các quan hệ vuông góc, dễ dàng chứng minh được M là trực tâm của tam giác A'B'C'.

Ta có: x=(SB'C';AB'C'); y=(SA'C';A'B'C'); z=(SA'B';A'B'C').

và: $\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OA'^2}+\frac{1}{OB'^2}+\frac{1}{OC'^2}$

$\Rightarrow (\frac{OM}{OA'})^2+(\frac{OM}{OB'})^2+(\frac{OM}{OC'})^2=1$

$\Leftrightarrow cos^2 x+cos^2 y+cos^2 z =1$

Từ đây ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 19-07-2012 - 10:37