Chủ đề này có 4 trả lời

[Albert einstein vip]

Cho a, b, c > 0 và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. Chứng minh
$\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right ) \geq 3\left ( a + b + c \right )$

------------

@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.

[kainguyen]

Cho a, b, c > 0 và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. Chứng minh
$\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right ) \geq 3\left ( a + b + c \right )$

Mình nghĩ đề là:

Cho a, b, c > 0 và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. Chứng minh
$\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right ) \geq 3\left ( a + b + c \right )^2$

thì dấu bằng mới xảy ra được chứ

Giải:

Đặt: $A=\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right )$

Ta có:

$\frac{4}{a^2+b^2}+1=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{a^2+b^2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{(a^2+b^2)^2}}$

Tương tự với các bđt khác rồi nhân theo từng vế, ta được:

$A \geq 27\sqrt[3]{\frac{4^3}{[(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)]^2} }$

Theo AM - GM, ta có: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\leq (\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3})^3=8$

Từ đây suy ra: $A\geq 27$

Mà ta có: $3(a+b+c)^2\leq 3(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)})^2=27$

Nên:

$\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right ) \geq 3\left ( a + b + c \right )^2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 17-07-2012 - 17:38

[Tru09]

Giải:

Đặt: $A=\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right )$

Ta có:

$\frac{4}{a^2+b^2}+1=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{a^2+b^2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{(a^2+b^2)^2}}$

.......

Bạn tách ra thế kia hơi dài , khuyến khích dùng holder luôn và cosy 3 số trong mẫu

[Katyusha]

Holder không phù hợp với bậc THCS lắm bạn ạ. Ta nên giải theo cách gần gũi và dễ hiểu nhất để học sinh cấp 2 nào cũng hiểu thì mang tính sư phạm hơn

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a, b, c > 0 và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. Chứng minh
$\left (\frac{4}{a^{2} + b^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{b^{2} + c^{2}} + 1 \right )\left ( \frac{4}{a^{2} + c^{2}} + 1 \right ) \geq 3\left ( a + b + c \right )^2$

------------

Holder :
$VT\geq (\frac{4}{\sqrt[3]{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}+1)^3\geq (\frac{4}{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}}+1)^3= 27\geq 3(a+b+c)^{2}$