Chủ đề này có 1 trả lời

[lamtran]

Cho a,b,c>0; a+b+c=1
Đặt $m=min \begin{Bmatrix} a^{3}+a^{2}bc; b^{3}+b^{2}ca; c^{3}+c^{2}ab \end{Bmatrix}$
CMR phương trình $x^{2}+x+4m=0$ có nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamtran: 19-07-2012 - 17:56

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Ta có: Phương trình $x^2 + x + 4m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$$\Delta = 1 - 16m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \dfrac{1}{16}$$

Điều này đồng nghĩa với nhận định:

1 trong 3 số $a^3 + a^2bc; b^3 + b^2ca; c^3 + c^2ab \leq \dfrac{1}{16}$

Ta thấy:

$(a^3 + a^2bc)(b^3 + b^2ca)(c^3 + c^2ab)$

$= a^2b^2c^2(a + bc)(b + ca)(c + ab) \leq (\dfrac{(a + b + c)^3}{27})^2.\dfrac{(a + b + c + ab + bc + ac)^3}{27}$

$= \dfrac{1}{27^2}.\dfrac{(1 + ab + ac + bc)^3}{27} \leq \dfrac{(1 + \dfrac{(a + b + c)^2}{3})^3}{27^3}$

$= \dfrac{4^3}{27^4} = \dfrac{4^3}{3^{12}} < \dfrac{1}{16^3}$

Do đó, có ít nhất 1 trong 3 số $a^3 + a^2bc; b^3 + b^2ca; c^3 + c^2ab < \dfrac{1}{16}$

$\Rightarrow m < \dfrac{1}{16}$

Suy ra điều phải chứng minh.