Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: 4 điểm $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ cùng nằm trên 1 đường tròn.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 nhuquynhdinh

nhuquynhdinh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:sao hỏa

Đã gửi 19-07-2012 - 21:23

Cho đường tròn tâm $O$ và 4 diểm $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn. Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ lần lượt là trực tâm $\triangle BDC, \triangle ACD, \triangle ABD,\triangle ABC.$ CMR: 4 điểm $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 12:09

3698


#2 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 19-07-2012 - 22:00

Vì time có hạn nên mình chỉ post hướng làm
(hướng có khả năng nhất thôi chứ mình chưa test :D)
1, CM $CDH_{3}H_{4} ,DAH_{4}H{1} ,H_{1}H{2}AB :Hình bình hành$
2,CM $\angle H_{1}H_{4}C =\angle H_{3}DA =\angle H_{3} H_{2} A$
(1) và(2) $\rightarrow \angle H_{1}H_{4}H_{3} +\angle H_{1}H_{2}H_{3} =180^o$
$\rightarrow DPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 19-07-2012 - 22:01


#3 nhatoanhocVuVanKhoi

nhatoanhocVuVanKhoi

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 22:54

Bài toán phụ : cho $\triangle$ ABC nội tiếp (O) có H là trực tâm ,K là hình chiếu của O lên BC .Khi đó AH = 2OK ( cm bằng cách từ A kẻ đường kính AD )
Áp dụng bài toán phụ vào đề bài ta được :
Kẻ OK $\perp$ DC $\Rightarrow BH_1 = 2OK ; AH_2 = 2OK$
$\Rightarrow$ AH2 = BH1 mà AH2 $\parallel$ BH1
$\Rightarrow$ ABH1H2 là hình bình hành $\Rightarrow$ H1H2 = AB
CMTT: $H_1H_4 = AD; ~H_2H_4 = BD;~ H_2H_3 = BC;~ H_1H_3 = AC$
$\Rightarrow$ $\triangle H1H4H2 = \triangle ADB \Rightarrow \widehat{H_1H_4H_2}=\widehat{ADB}$
CMTT :$\widehat{H1H3H2} = \widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ADB} = \widehat{ACB}$ ( tứ giác ABCD nội tiếp )
Nên $\widehat{H_1H_4H_2} = \widehat{H_1H_3H_2}$ $\Rightarrow H_1H_2H_3H_4$ nội tiếp
$\Rightarrow H_1, H_2, H_3, H_4$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 12:14


#4 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-07-2012 - 00:30

Nhờ câu nói khoáy của anh triethuynhmath, mình thử mở rộng nó với trường hợp.
Cho $H_1,H_2,H_3,H_4$ là giao 3 đường phân giác. Ta cũng chứng minh nó đồng viên. Thật vậy !
Trước hết, ta chứng minh $AH_3H_4B:tgnt$
$\angle AH_3B = 180^o - \frac{\angle ABD + \angle DAB}{2}$
$=90^o + \frac{\angle ADB}{2}$
Tương tự như vầy có $\angle AH_4B= 90^o + \frac{\angle ACB}{2}$
~> TGNT.
Okêy, chứng minh tiếp
$\angle WH_3H_4 = 180^o - \angle AH_3H_4= \angle ABH_4$
$\angle WH_3H_2 = \angle ADH_2$
$\Rightarrow \angle WH_3H_4 + \angle WH_3H_2 = \angle ADH_2 + \angle ABH_4 = 180^o : 2 = 90^o$
Vậy $H_3H_4 \perp H_3H_2$
Tương tự như vầy, ta chứng minh được $H_1H_2H_3H_4:\text{ hình chữ nhật }$.
$\Rightarrow \text{ đồng viên} $
___________________________________________
~~Bổ đề khác của Tru09 áp dụng cho bài toán đầu tiên:
Cho $\Delta ABC$ và $\Delta DBC$ cùng nội tiếp O với dây BC,trực tâm của 2 tam giác đó song song với AD
CM:
$\angle BEC =\angle BAC$
$\angle BFC =\angle BDC$
$\rightarrow \angle BEC =\angle BFC$
$\rightarrow BCEF : tgnt$
$\rightarrow \angle CEF =\angle CBF =\angle CDF$
Mà $\angle AEC =\angle BAC +\angle ACB $
=$\angle BDC+\angle ADB $
=$\angle ADC$(1)
Mà AE // DF ( cùng $\perp$ BC)(2)
(1) và (2) $\rightarrow ADFE là hình bh$
$\rightarrow AD //EF $
Hình đã gửi
Xong cái bổ đề ^^
1, áp dụng vào ta sẽ cm được những j mình gợi ý ở trên
2,$\angle H_{1}H_{4}C =\angle H_{3}DA$ ( góc có cặp cạnh tương ứng song song)
3,$ \angle H_{1}H_{2}H_{3}$
=$\angle H_{1}H_{2}C +\angle CH_{2}H_{3}$
=$\angle CBA$
MÀ $\angle CBA +\angle CDA=180^o$ (tgnt)
$\rightarrow$
$ \angle H_{1}H_{2}H_{3} +\angle CH_{4}H_{3} =180^o $
$\rightarrow$ DPCM

Hình đã gửi

Hình gửi kèm

  • bitch.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-07-2012 - 11:21

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#5 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-07-2012 - 11:20

Một mở rộng khác cho bài này, thay $H_1,H_2,H_3, H_4$ là trọng tâm.
Dễ dàng chứng minh $H_3H_4 // DC, H_2H_3 // BC, H_1H_2 // AB, H_1H_4 // AD$
$H_3H_4 \cap AB = E; H_2H_3 \cap CD = F \Rightarrow H_3ECF:\text{ hình bình hành }$
$\Rightarrow \angle H_2H_3H_4 = \angle C$
Tương tự ta cũng có $\angle H_2H_1H_4 = \angle A$
Mà $\angle C + \angle A = 180^o$
$\Rightarrow \angle H_2H_3H_4 + \angle H_2H_1H_4 = 180^o$
$\Rightarrow H_1H_2H_3H_4: tgnt$
Ciaossu :)
P/s: hình của mình có nhầm điểm tí xíu.

Hình gửi kèm

  • Ảnh chụp màn hình_2012-07-20_111324.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-07-2012 - 11:23

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh