Chủ đề này có 4 trả lời

[nhuquynhdinh]

Cho đường tròn tâm $O$ và 4 diểm $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn. Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ lần lượt là trực tâm $\triangle BDC, \triangle ACD, \triangle ABD,\triangle ABC.$ CMR: 4 điểm $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 12:09

[Tru09]

Vì time có hạn nên mình chỉ post hướng làm
(hướng có khả năng nhất thôi chứ mình chưa test )
1, CM $CDH_{3}H_{4} ,DAH_{4}H{1} ,H_{1}H{2}AB :Hình bình hành$
2,CM $\angle H_{1}H_{4}C =\angle H_{3}DA =\angle H_{3} H_{2} A$
(1) và(2) $\rightarrow \angle H_{1}H_{4}H_{3} +\angle H_{1}H_{2}H_{3} =180^o$
$\rightarrow DPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 19-07-2012 - 22:01

[nhatoanhocVuVanKhoi]

Bài toán phụ : cho $\triangle$ ABC nội tiếp (O) có H là trực tâm ,K là hình chiếu của O lên BC .Khi đó AH = 2OK ( cm bằng cách từ A kẻ đường kính AD )
Áp dụng bài toán phụ vào đề bài ta được :
Kẻ OK $\perp$ DC $\Rightarrow BH_1 = 2OK ; AH_2 = 2OK$
$\Rightarrow$ AH2 = BH1 mà AH2 $\parallel$ BH1
$\Rightarrow$ ABH1H2 là hình bình hành $\Rightarrow$ H1H2 = AB
CMTT: $H_1H_4 = AD; ~H_2H_4 = BD;~ H_2H_3 = BC;~ H_1H_3 = AC$
$\Rightarrow$ $\triangle H1H4H2 = \triangle ADB \Rightarrow \widehat{H_1H_4H_2}=\widehat{ADB}$
CMTT :$\widehat{H1H3H2} = \widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ADB} = \widehat{ACB}$ ( tứ giác ABCD nội tiếp )
Nên $\widehat{H_1H_4H_2} = \widehat{H_1H_3H_2}$ $\Rightarrow H_1H_2H_3H_4$ nội tiếp
$\Rightarrow H_1, H_2, H_3, H_4$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 12:14

[BlackSelena]

Nhờ câu nói khoáy của anh triethuynhmath, mình thử mở rộng nó với trường hợp.
Cho $H_1,H_2,H_3,H_4$ là giao 3 đường phân giác. Ta cũng chứng minh nó đồng viên. Thật vậy !
Trước hết, ta chứng minh $AH_3H_4B:tgnt$
$\angle AH_3B = 180^o - \frac{\angle ABD + \angle DAB}{2}$
$=90^o + \frac{\angle ADB}{2}$
Tương tự như vầy có $\angle AH_4B= 90^o + \frac{\angle ACB}{2}$
~> TGNT.
Okêy, chứng minh tiếp
$\angle WH_3H_4 = 180^o - \angle AH_3H_4= \angle ABH_4$
$\angle WH_3H_2 = \angle ADH_2$
$\Rightarrow \angle WH_3H_4 + \angle WH_3H_2 = \angle ADH_2 + \angle ABH_4 = 180^o : 2 = 90^o$
Vậy $H_3H_4 \perp H_3H_2$
Tương tự như vầy, ta chứng minh được $H_1H_2H_3H_4:\text{ hình chữ nhật }$.
$\Rightarrow \text{ đồng viên} $
___________________________________________
~~Bổ đề khác của Tru09 áp dụng cho bài toán đầu tiên:
Cho $\Delta ABC$ và $\Delta DBC$ cùng nội tiếp O với dây BC,trực tâm của 2 tam giác đó song song với AD
CM:
$\angle BEC =\angle BAC$
$\angle BFC =\angle BDC$
$\rightarrow \angle BEC =\angle BFC$
$\rightarrow BCEF : tgnt$
$\rightarrow \angle CEF =\angle CBF =\angle CDF$
Mà $\angle AEC =\angle BAC +\angle ACB $
=$\angle BDC+\angle ADB $
=$\angle ADC$(1)
Mà AE // DF ( cùng $\perp$ BC)(2)
(1) và (2) $\rightarrow ADFE là hình bh$
$\rightarrow AD //EF $

Xong cái bổ đề ^^
1, áp dụng vào ta sẽ cm được những j mình gợi ý ở trên
2,$\angle H_{1}H_{4}C =\angle H_{3}DA$ ( góc có cặp cạnh tương ứng song song)
3,$ \angle H_{1}H_{2}H_{3}$
=$\angle H_{1}H_{2}C +\angle CH_{2}H_{3}$
=$\angle CBA$
MÀ $\angle CBA +\angle CDA=180^o$ (tgnt)
$\rightarrow$
$ \angle H_{1}H_{2}H_{3} +\angle CH_{4}H_{3} =180^o $
$\rightarrow$ DPCM

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-07-2012 - 11:21

[BlackSelena]

Một mở rộng khác cho bài này, thay $H_1,H_2,H_3, H_4$ là trọng tâm.
Dễ dàng chứng minh $H_3H_4 // DC, H_2H_3 // BC, H_1H_2 // AB, H_1H_4 // AD$
$H_3H_4 \cap AB = E; H_2H_3 \cap CD = F \Rightarrow H_3ECF:\text{ hình bình hành }$
$\Rightarrow \angle H_2H_3H_4 = \angle C$
Tương tự ta cũng có $\angle H_2H_1H_4 = \angle A$
Mà $\angle C + \angle A = 180^o$
$\Rightarrow \angle H_2H_3H_4 + \angle H_2H_1H_4 = 180^o$
$\Rightarrow H_1H_2H_3H_4: tgnt$
Ciaossu
P/s: hình của mình có nhầm điểm tí xíu.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-07-2012 - 11:23