Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 duonghieu

duonghieu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 21:34

Cho $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng :
$$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 03:42


#2 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 21:50

Áp dụng bđt Holder:
$(a^4+b^4+c^4)^3.(1+1+1)\geq (a^3+b^3+c^3)^4 \geq (a^3+b^3+c^3)^3.\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$
$=3(a^3+b^3+c^3)^3$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 19-07-2012 - 22:15

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#3 haichau97

haichau97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 22:15

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

#4 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 19-07-2012 - 22:15

Nếu em chưa biết Holder em vẫn có thể dùng AM-GM
$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$
.... tương tự
Ta lại có $a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^4}{27}=3$
(a+b+c=3)
$\Rightarrow \sum 4a^4\geq \sum 3a^4+3\geq \sum 4a^3$
$\Rightarrow \sum a^4\geq \sum a^3$$\blacksquare$

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#5 linhlun97

linhlun97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trái Đất

Đã gửi 20-07-2012 - 00:10

ta dễ dàng cm được các bdt sau
$a^4+b^4\geq a^3b+ab^3$
$b^4+c^4\geq b^3c+bc^3$
$a^4+c^4\geq a^3c+ac^3$
cộng các bdt trên ta được
$2(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+a^4+b^3c+b^3a+b^4+c^3a+c^3b+c^4$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow (a^4+b^4+c^4)\geq (a^3+b^3+c^3)$

#6 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 20-07-2012 - 07:50

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Mình xin trích lại lời giải như sau :
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$
Chứng minh
Sử dụng BĐT AM- GM ta có
$(k-1)a^{k}+1=a^{k}+a^{k}+a^{k}+...+a^{k}+a^{k}+1\geq k\sqrt[k]{a^{k(k-1)}}=k.a^{k-1}$
Thay a bởi $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ rồi cộng các bđt lại ta được
$(k-1)(a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k})+n\geq k(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})$
Ta cần cm
$(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})\geq n$
Sử dụng bđt AM-GM
$a^{k-1}+(k-2)\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$
Thay a bởi $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ rồi cộng các bđt lại ta được
$(a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1})+n(k-2)\geq (k-1)(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}) =(k-1)n$
Suy ra dpcm
--------
Đối với bài này chỉ cần cm
$\sum a^{4}\geq \sum \left | a^{3} \right |\geq \sum a^{3}$
Ta có đpcm
------
:icon11:

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#7 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 20-07-2012 - 08:15

Bài toán này dùng $Chebyshev$ là nhanh nhất mà :P

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#8 milinh7a

milinh7a

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Quốc học Huế

Đã gửi 20-07-2012 - 08:42

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Lỡ a<0 thì sao $\sqrt[4]{x^{12}}= x^{3}$ được hả bạn?

#9 lamtran

lamtran

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-07-2012 - 11:05

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Mình nghĩ là chỗ in đỏ nên sửa lại như sau:
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4\sqrt[4]{a^{12}}=4\left | a^{3} \right |\geq 4a^{3}$ vì a không có điều kiện không âm.

#10 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 20-07-2012 - 11:36

Bài toán này dùng $Chebyshev$ là nhanh nhất mà :P

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c >0$
Suy ra $a^3 \geq b^3 \geq c^3$
Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai dãy cùng chiều ta được:
$\frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{3} \leq a^4+b^4+c^4$
Hay $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#11 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 20-07-2012 - 16:22

Thử biến đổi tương đương phát.

Cho $a+b+c=3$.
CMR: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Lời giải:
Ta chứng minh:$\sum {a^4 - a^3 } \ge \sum {a - 1} $ ( tương đương điều phải chứng minh )
Cái này tương đương:$ \Leftrightarrow \sum {\left( {a - 1} \right)^2 \left( {a^2 + a + 1} \right)} \ge 0$
Như vậy có điều phải chứng minh
-------------------

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$

Lời giải:
Điều phải chứng minh tương đương:

\[
\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i^k - a_i^{k - 1} } \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i^k - a_i^{k - 1} } \right)} \ge \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i - 1} \right)} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\left( {a_i - 1} \right)^2 .\sum\limits_{m = 0}^{k - 2} {a^m } } \right)} \ge 0
\]
Như vậy ta có điều phải chứng minh :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#12 haichau97

haichau97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 22-07-2012 - 22:29

Lỡ a<0 thì sao $\sqrt[4]{x^{12}}= x^{3}$ được hả bạn?

:hì ,mình nhầm $\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4\begin{vmatrix} a^{3} \end{vmatrix}\geq 4a^{3}$ (luôn đúng vì nếu $a<0 VT>0;VP<0$ ,nếu $a$ dương hiển nhiên đúng ^^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 03:44


#13 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 21:24

Cho $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng :
$$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$$

Dùng phương pháp tiếp tuyến,vừa đẹp,vừa tự nhiên
~~~like phát~~~

#14 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:07

Dùng phương pháp tiếp tuyến,vừa đẹp,vừa tự nhiên

phuong pháp tiếp tuyến ntn>??

#15 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:14

phuong pháp tiếp tuyến ntn>??

Khi nào rảnh tau bày cho :))
Cái đó cao hơn lớp 10(khó nói)
~~~like phát~~~

#16 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:15

Khi nào rảnh tau bày cho :))
Cái đó cao hơn lớp 10(khó nói)

cày bđt kĩ hè

#17 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 27-09-2012 - 22:25

cày bđt kĩ hè

Hớ,tau cày đâu,tìm hiểu đấy chứ :icon13:
Cày kĩ thì ngu mấy phần khác mất :wub:
~~~like phát~~~

#18 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 27-09-2012 - 22:32

Còn một cách nữa dành cho các bạn THCS:
CodeCogsEqn (6).gif
Phần còn lại thì dễ rồi.

#19 kunkon2901

kunkon2901

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:-_-
  • Sở thích:toán học...

Đã gửi 14-07-2015 - 16:18

Bài này đã có lời giải tổng quát trong sáng tạo bđt của anh Phạm Kim Hùng !!!!
Mình xin trích lại lời giải như sau :
Giả sử $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương có tổng = n . CMR với mọi số nguyên dương k bất kì ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$
Chứng minh

Sử dụng bđt AM-GM
$a^{k-1}+(k-2)\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$

 

chỗ này là sao ạ



#20 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 14-07-2015 - 16:58

chỗ này là sao ạ

$a^{k-1}+(k-2)=a^{k-1}+1+..+1\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$ (BĐT AM-GM cho k-1 số; 1+...+1 gồm k-2 chữ số 1)

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 14-07-2015 - 17:01





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh