Chủ đề này có 1 trả lời

[rovklee]

Giải phương trình:
$\frac{\sin ^{4}\frac{x}{2}+\cos ^{4}\frac{x}{2}}{1-\sin x}-\tan ^{2}\sin x=\frac{1+\sin x}{2}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình:
$\frac{\sin ^{4}\frac{x}{2}+\cos ^{4}\frac{x}{2}}{1-\sin x}-\tan ^{2}\sin x=\frac{1+\sin x}{2}$
Cách thực dụng nhất:

Giải

Chú ý:
$\sin^4{\alpha} + \cos^4{\alpha} = (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha})^2 - \dfrac{1}{2}(2\sin{\alpha}.\cos{\alpha})^2 $

$= 1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{2\alpha}$

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}\cos{x} \neq 0\\\sin{x} \neq 1\end{array}\right. \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \,\, (k \in Z)$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{x}}{1 - \sin{x}} - \dfrac{\sin^3{x}}{\cos^2{x}} = \dfrac{1+\sin x}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2 - \sin^2{x})(1 + \sin{x})}{2(1 - \sin^2{x})} - \dfrac{2\sin^3{x}}{2(1 - \sin^2{x})} = \dfrac{(1 + \sin{x})(1 - \sin^2{x})}{2(1 - \sin^2{x})}$

$\Leftrightarrow 2\sin^3{x} - \sin{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = 1\\2\sin^2{x} + 2\sin{x} + 1 = 0 \, (VN)\end{array}\right.$

Do ĐK xác định là $\sin{x} \neq 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.