Chủ đề này có 1 trả lời

[rovklee]

Cho phương trình:
$(m+1)\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos 2x=0$
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm x$\varepsilon (0;\frac{\pi }{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rovklee: 20-07-2012 - 17:41

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho phương trình:
$(m+1)\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos 2x=0$
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm x $\in (0;\frac{\pi }{2})$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$(m+1)\sin ^2{x}-2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x} - \sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow m\sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x} = 0 \,\, (2)$
Do $x \in (0; \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow \cos{x} > 0$
Chia cả hai vế phương trình (2) cho $\cos^2{x}$, ta có:
$m\tan^2{x} - 2\tan{x} + 1 = 0$

- Với $m = 0 \Rightarrow \tan{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \arctan{\dfrac{1}{2}} + k\pi$
Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Với $m \neq 0$, phương trình có đúng hai nghiệm $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ khi và chỉ khi, (2) có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta' = 1 - m > 0\\S = \dfrac{2}{m} > 0\\P = \dfrac{1}{m} > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 0 < m < 1$

Vậy, với $m \in (0; 1)$ thì phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm $x \in (0;\frac{\pi }{2})$