Chủ đề này có 2 trả lời

[minh29995]

Bài toán:(Trần Văn Chém)
Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1
Chứng minh rằng:
$\sum_{cyc}\frac{4a+3b+c}{a+c}\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3$

[Tham Lang]

Bài toán:(Trần Văn Chém)
Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1
Chứng minh rằng:
$\sum_{cyc}\frac{4a+3b+c}{a+c}\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3$

* Bổ đề :
Với $a,b,c\ge 0$ thì ta luôn có :
$$ab^2+bc^2+ca^2+abc\le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$
Chứng minh :
Gỉa sử $b$ nằm giữa $b, c$ lúc đó :
$$(b-a)(b-c)\le 0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc$$ $$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\le a^2b+bc^2+2abc=b(a+c)^2=\dfrac{2b.(a+c).(a+c)}{2}\le \dfrac{(2a+2b+2c)^3}{27.2}=\dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$
Bổ đề đã được chứng minh.
Biến đổi tương đương :
$$\Leftrightarrow \sum \left [\dfrac{3(a+b)}{a+c}+1\right ] \leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{9}$$
$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a+b}{a+c}\leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{9}-3$$
$$\Leftrightarrow 3.\dfrac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)+ab^2+bc^2+ca^2+a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}\leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{9}-3$$
$$\Leftrightarrow 3\left [\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)+ab^2+bc^2+ca^2+a^3+b^3+c^3+abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-1}+1\right ]\le \dfrac{4(a+b+c)^3-27}{9}$$
Sử dụng bổ đề, ta cần chứng minh :
$$3\left [\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)+a^3+b^3+c^3+\dfrac{4(a+b+c)^3}{27}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}+1\right ]\leq \dfrac{4(a+b+c)^3-27}{9}$$
Đặt $\left\{\begin{array}{1}a+b+c=p \\ab+bc+ca=q \end{array}\right.$
Lúc đó , BĐT cần chứng minh tương đương :
$$3\left [\dfrac{pq+\dfrac{4p^3}{27}+p^3-3pq+3}{pq-1}+1\right ]\leq \dfrac{4p^3-27}{9}$$
$$\Leftrightarrow 35p^3+27\le 4p^4q$$
Đúng vì theo AM-GM, ta có :
$$\dfrac{p^4.q}{9}\ge 27$$
$$\dfrac{35p^4q}{9}\ge 35p^3$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
*Nhận xét :
Bổ đề trên đã làm BĐT sau đủ mạnh để chứng minh BĐT "Trần Văn Chém"
Còn nếu ta đánh giá $ab^2+bc^2+ca^2\le a^3+b^3+c^3$ thì BĐT sau lại không thể được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 24-07-2012 - 06:15

[minh29995]

Ý của mình đúng là vậy!
Sử dụng đánh giá trên BĐT đã cho tương đương với:
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{a+c}\leq \sum_{cyc} b^2a$
Sử dụng phân tích S-S, BĐT tương đương với:
$(c-\frac{1}{(a+c)(b+c)})(a-b)^2+(b-\frac{1}{(a+c)(a+b)})(a-c)(b-c)\geq 0$
Giả sử c=min{a,b,c} ta có:
$(a+c)(b+c)>ab$
$(a+c)(a+b)> ac$
$(a-c)(b-c)\geq 0$
Do đó BĐT được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-07-2012 - 01:45