Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $x$ để $A=x^3+x^2+x+1$ là số chính phương

số chính phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Tìm số nguyên $x$ để $A=x^3+x^2+x+1$ là số chính phương?

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
Giải: Ta có: $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)=k^2\geq 0$, $k\in \mathbb{N}$, do đó $x\geq -1$
Với $x=-1$ thoả mãn phương trình nghiệm nguyên.
Gọi $(x+1;x^2+1)=d$ thì $2\vdots d$
TH1: $d=1$ thì mỗi số $x+1;x^2+1$ là số chính phương hay $x=0$, thoả mãn.
TH2: $d=2$ thì $x=2a+1$, $a\in \mathbb{N}$, ta có $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$ hay mỗi số $a+1;a^2+a+1$ đều là số chính phương, mà $(a+1;a^2+a+1)=1$, nên $a+1=0$ hay $a=-1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $x\in (-1;0)$

#3
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Mình thấy vẫn còn một nghiệm nữa là $x=1$ mà

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#4
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Giải: Ta có: $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)=k^2\geq 0$, $k\in \mathbb{N}$, do đó $x\geq -1$
Với $x=-1$ thoả mãn phương trình nghiệm nguyên.
Gọi $(x+1;x^2+1)=d$ thì $2\vdots d$
TH1: $d=1$ thì mỗi số $x+1;x^2+1$ là số chính phương hay $x=0$, thoả mãn.
TH2: $d=2$ thì $x=2a+1$, $a\in \mathbb{N}$, ta có $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$ hay mỗi số $a+1;a^2+a+1$ đều là số chính phương, mà $(a+1;a^2+a+1)=1$, nên $a+1=0$ hay $a=-1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $x\in (-1;0)$

hình như bạn chưa xét $d=-1;-2$ nữa đấy chúng cũng là ước của 2 mà

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#5
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
Mình quên, khi xét $d=-1;-2$ thì ra $x=1$, cảm ơn. :icon6:

#6
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

hình như bạn chưa xét $d=-1;-2$ nữa đấy chúng cũng là ước của 2 mà

Bạn gọi UCLN mà. Khi đó d>0 rồi

Giải: Ta có: $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)=k^2\geq 0$, $k\in \mathbb{N}$, do đó $x\geq -1$
Với $x=-1$ thoả mãn phương trình nghiệm nguyên.
Gọi $(x+1;x^2+1)=d$ thì $2\vdots d$
TH1: $d=1$ thì mỗi số $x+1;x^2+1$ là số chính phương hay $x=0$, thoả mãn.
TH2: $d=2$ thì $x=2a+1$, $a\in \mathbb{N}$, ta có $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$ hay mỗi số $a+1;a^2+a+1$ đều là số chính phương, mà $(a+1;a^2+a+1)=1$, nên $a+1=0$ hay $a=-1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $x\in (-1;0)$

-Mình ko hiểu dòng mà này. Có cái chỗ đỏ thì mới có a+1 và $a^2+a+1$ đều là số chính phương chứ
-Do đó ko suy ra a+1=0 được. dẫn đến bạn làm thiếu nghiệm
-Khi đó ta làm như sau:
Ta có:
$a^2+a+1=k^2$
+Với a>0 thì $(a+1)^2>k^2>a^2$ (vô lý)
+Với a<-1 thì $a^2>k^2>(a-1)^2$ (vô lý)
$\rightarrow a=-1;0$
-Thử lại với a+1 thì 2 trường hợp đều đúng
-Do đó a=-1;0$\rightarrow x=-1;1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 23-07-2012 - 20:02

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#7
hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

-Mình ko hiểu dòng mà này. Có cái chỗ đỏ thì mới có a+1 và $a^2+a+1$ đều là số chính phương chứ
-Do đó ko suy ra a+1=0 được. dẫn đến bạn làm thiếu nghiệm

Cái dòng chữ đỏ đó đúng mà Tuấn !!!!
$a^{2}+a+1=(a+1)a+1$
Xét a=0 => $(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a=-1 =>$(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a$\neq 0;1$ thì hển nhiên đúng
------------
Em chrome98 chỉ quên mất trường hợp a=0 mà thôi !!
--------------
:nav: :nav: :nav: :nav: :nav: :nav: ....

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#8
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Cái dòng chữ đỏ đó đúng mà Tuấn !!!!
$a^{2}+a+1=(a+1)a+1$
Xét a=0 => $(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a=-1 =>$(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a$\neq 0;1$ thì hển nhiên đúng
------------
Em chrome98 chỉ quên mất trường hợp a=0 mà thôi !!

-Dòng đó đúng. Nhưng mà sao lại có chữ mà. Tích của $a+1$ và $a^2+a+1$ là số chính phương. Có dòng màu đỏ thì mới suy ra mỗi số là số chính phương thôi. Đằng này chrome 98 lại bảo 2 số đó là số chính phương rồi mà $(a+1;a^2+a+1)$=1 để suy ra a+1=1. Đó là sai.. 2 cái dự kiện đấy sao suy ra dc a+1=0;1 ???? Để suy ra thế chỉ khi tích 2 số liên tiếp là số chính phương thôi.
-Đó là điều tớ nói chứ ko phải cái chứng minh nguyên tố cùng nhau kia.
-Nói chung là thế này:
Vì $(a+1)(a^2+a+1)=u^2$ là số chính phương và $(a+1;a^2+a+1)=1$ nên mỗi số đều là số chính phương hay
$\left\{\begin{matrix}a+1=v^2 \\ a^2+a+1=k^2 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 23-07-2012 - 22:11

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#9
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Thực ra bài toán đầy đủ của nó là: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$(x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2$$ :icon6:

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#10
khoatrla

khoatrla

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
sao có được $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$ vậy

#11
snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
Mình nghĩ đơn giản thế này số chính phương tức là tích của 2 số nguyên giống nhau
Căn cư vào đó mình làm như sau :
Ta có $A=x^3+x^2+x+1=1.(x+1)(x^2+1)$
Từ đó ta có các T/H :
1. $1=(x+1)(x^2+1)\Leftrightarrow x=0$
2.$x+1=x^2+1\Leftrightarrow x=0\vee x=1$

#12
khoatrla

khoatrla

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

TH2: $d=2$ thì $x=2a+1$, $a\in \mathbb{N}$, ta có $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$

như thế này mới đúng chứ $4(a+1)(2a^2+2a+1)=k^2$

#13
khoatrla

khoatrla

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Mình nghĩ đơn giản thế này số chính phương tức là tích của 2 số nguyên giống nhau
Căn cư vào đó mình làm như sau :
Ta có $A=x^3+x^2+x+1=1.(x+1)(x^2+1)$
Từ đó ta có các T/H :
1. $1=(x+1)(x^2+1)\Leftrightarrow x=0$
2.$x+1=x^2+1\Leftrightarrow x=0\vee x=1$

bạn hiểu như thế thì không đúng đó chỉ là một trường hợp nếu hai số đó nguyên tố cùng nhau thì cần mỗi số là số chính phương để tích đó là số chính phương

như thế này mới đúng chứ $4(a+1)(2a^2+2a+1)=k^2$

sao ko ai giúp mình với nhỉ

#14
Aries Intelligent

Aries Intelligent

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Anh chị ơi cho em hỏi mình dc dùng theo kiểu phương trình tích hông ạ ? Như vầy nè :
(x+1).(x+1) = k=> x+1=k và x2 +1=k hoặc...



#15
MUtrongtimtoi

MUtrongtimtoi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

mình nghĩ dùng như vậy sao đc  ví dụ như 4.9=36=6^2 nhưng 4 và 9 không bằng 6



#16
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

mình nghĩ dùng như vậy sao đc  ví dụ như 4.9=36=6^2 nhưng 4 và 9 không bằng 6

Thực chất đây là hệ quả của nhận xét: Nếu tích của $2$ số nguyên dương nguyên tố cùng nhau là $1$ số chính phương thì mỗi số đó đều là số chính phương.


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh