CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THƯC - CỰC TRỊ HÌNH HỌC.
A.Các kiến thức cần nhớ.
I. Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị .
1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên .
- Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì $AB \geq AH$ , xảy ra dấu bằng thì B trùng với H
- Trong tất cả các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó . Đường vuông góc có độ là dài nhỏ nhất
- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song , đoạn vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất .
2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu .
3. Bất đẳng thức tam giác
4. Các bất đẳng thức trong đường tròn . (SGK toán 9 )
Mở rộng : Bấ đẳng thức Pto - lê - mê . ( Đề cập trong phần bài tập)
5. Các bất đẳng thức đại số .
- Bất đẳng thúc về lũy thừa bậc chẵn. : $x^{2}\geq 0 ; -x^{2}\geq 0$
-Bất dằng thức Cauchy .
* Chú ý : Với hai số không âm x , y thì :
+) Nếu (x + y) là một hằng số thì $xy_{max}\Leftrightarrow x=y$
+) Nếu xy là hằng số thì $(x+y)_{min}\Leftrightarrow x=y$
* Bất đẳng thúc Bu - nhi - a - cop - xki . ....
II. Một số lưu ý khi giải bài toán cực trị
* Khi giải các bài toán cực trị , nhiều khi ta cần biến đổi tườn đương điều kiện cực trị của các đại lượng này thành điều kiện cực trị của đại lượng khác .
* Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm : Trong tập hợp các hình có chung một tính chất , khi cố định một số yếu tố không đổi của hình , các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định , việc theo dõi vị trí của chúng giúp chúng ta tìm được cực trị bài toán
* Khi giải các bài toán cực trị , có khi ta phải tìm GTLN (GTNN) trong từng trường hợp ,. rồi so sánh cá giá trị ấy với nhau để tìm GTLN )GTNN) của cả bài toán .
B. Bài tập áp dụng
(Mức độ từ dễ đến khó)
Bài tập số 1 . Cho tam giác ABC vuông tại C , D là một điểm thay đổi trên cạnh AB . Goi M , N lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AC và BC .
Với vị trí nào của điểm D trên cạnh AB thì :
a) MN có độ dài nhỏ nhất ?
b) Diện tích tứ giác CMDN lớn nhất .
Bài tập số 2 . Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích , hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập số 3 . Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh rằng :
$AC.BD\leq AB.CD+AD.BC$
(Bất đẳng thức Pto - lê - mê
Bài tập số 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC cố định $(BC\neq 2R)$, H là trực tâm . Xác định vị trí của A để : $S = HA+ HB + HC$ có giá trị lớn nhất
(Bài thi học kì II lớp 9 tỉnh thanh hóa)
Bài tập sô 5. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD , biết AB = AD = a , BC = CD = b
Bài tập số 6. Cho đường tròn (O) dây BC là một dây cung khác đường kính của đường tròn . Tìm điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB + AC lớn nhất .
Bài tập sô 7.
a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi ,hình nào có diện tích lớn nhất.
b) Trong các hình chữ nhật có cũng diện tích , hình nào có chu vi nhỏ nhất .
Bài tập số 8. Một hình thang có diện tích bằng 1 . Hỏi đường chéo của hình thang này độ là nhỏ nhất là bao nhiêu.
(trích đề thi GV giỏi tỉnh thanh hóa )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 26-07-2012 - 09:24