Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Những điều lý thú


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 koreagerman

koreagerman

    WriteLine("Hello World!");

  • Hiệp sỹ
  • 288 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội - Việt Nam
  • Sở thích:Ngủ

Đã gửi 27-12-2004 - 19:44

CÁC ĐẲNG THỨC ĐẸP MẮT.



Chắc hẳn không ai là không biết đến đẳng thức đẹp đẽ của tam giác Pitago: $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Đẳng thức này có 3 số hạng, mỗi số là bình phương của các số nguyên liên tiếp. Tuy nhiên các đẳng thức tương tự thì chưa hẳn ai cũng biết.

Ta bắt đầu với đẳng thức gồm 5 số hạng: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 (= 365)$.

Truyện kể rằng, Họa sỹ Bedinxki có vẽ bức tranh với tựa đề "trí lực", trong đó có một tấm bảng đen. Trên bảng có viết một đề toán:

$ frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365} = ? $

Ở phía dưới có nhiều học sinh đang chăm chú tính toán. Nếu biết được đẳng thức trên thì dễ thấy đáp số của đề toán là 2.

Bức tranh trên là vẽ về đề toán của giáo sư Latinski, người đã từ bỏ chức vụ và đời sống thành thị về dạy dỗ con cái, các trẻ em nghèo khó ở nông thôn. Tiến sỹ Cuchen người Mỹ đã rất khâm phục vị giáo sư tiểu học bỏ qua mọi danh lợi này. Qua các đẳng thức trên, ông tự hỏi rằng liệu có tìm được các đẳng thức tương tự hay không? Cụ thể là một đẳng thức gồm 7 số hạng là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp? Và ông đã tìm ra đẳng thức sau:

$ 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27 ^2 $

Phát hiện đó làm chính bản thân ông cũng thấy hết sức kỳ lạ, khiến ông tiếp tục nghiên cứu. Cuối cùng, ông cũng tìm ra quy luật của các đẳng thức. Nếu viết ra trên mỗi dòng thì sẽ được một hình tháp hết sức đẹp đẽ.

$ 3^2 + 4^2 = 5^2

10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2

21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2

36^2 + 37^2 + 38^2 + 39^2 + 40^2 = 41^2 + 42^2 + 43^2 + 44^2$

Quy luật của đẳng thức trên như sau: Gọi n là số số hạng ở vế phải, thì n + 1 là số số hạng ở vế trái, điều quan trọng là số tự nhiên đứng giữa là số nào? Tiến sỹ Cuchen đã tìm ra: đó là số 2n(n+1).

Ví dụ:

n = 1: 2n(n + 1) = 4;

n = 2: 2n(n + 1) = 12;

n = 3: 2n(n + 1) = 24;

n = 4: 2n(n + 1) = 40;...

Với n = 5, 2n(n + 1) = 60, ta có đẳng thức

$ 55^2 + 56^2 + 57^2 + 58^2 + 59^2 + 60^2 = 61^2 + 62^2 + 63^2 + 64^2 + 65^2. $


Thật ra bài toán này cũng không quá khó: Gọi $x^2$ là số hạng ở giữa. Áp dụng công thức quen thuộc:

$$\sum_{i=1}^n {i^2} =1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) $$

Ta có: Vế trái là:

$$(x-n)^2 + (x-n+1)^2 + ... + x^2 = \sum_{i=1}^{x_i^2} - \sum_{i=1}^{x_{n-1} i^2$$

 

Vế phải là:

$$ (x+1)^2 + ... + (x+n)^2 = \sum_{i=1}^{x + n} {i^2} - \sum_{i=1}^x i^2}$$

Do đó ta tìm $x$ theo $n$ để:

$$ \sum_{i=1}^{x + n} i^2+ \sum_{i=1}^{x-n-1} i^2 = 2\sum_{i=1}^x i^2$$

Áp dụng công thức trên, và rút gọn (dành cho bạn đọc), cuối cùng ta được:

$$2x.n^2+2xn-x^2 = 0$$

Suy ra $x = 2n(n + 1)$./.

----------------------

Note: Từ diễn đàn cũ.



#2 koreagerman

koreagerman

    WriteLine("Hello World!");

  • Hiệp sỹ
  • 288 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội - Việt Nam
  • Sở thích:Ngủ

Đã gửi 28-12-2004 - 10:26

[b]ĐẲNG THỨC SỐ KỲ LẠ - CÁC SỐ "LỘT XÁC".

Hôm nay, chúng ta sẽ xem xét đến đẳng thức sau đây:

123789 + 561945 + 642864 = 242868 + 323787 + 761943

Đây là một đẳng thức đúng hoàn toàn bình thường. Điều thú vị là lấy bình phương các số hạng thì đẳng thức trên vẫn đúng:

$ 123789^2 + 561945^2 + 642864^2 = 242868^2 + 323787^2 + 761943^2$

Nếu chưa tin thì bạn hãy thử tính lại xem, bạn có thể kiểm tra bằng maple cho nhanh chóng. Bạn sẽ thấy thậc là ngạc nhiên và thú vị, nhưng đó chưa phải là tất cả, các số này còn có tính chất thú vị hơn nhiều.

Bạn hãy bỏ đi chữ số đầu tiên của các số hạng, điều thần diệu vẫn xảy ra với các số thu được, tức là:

23789 + 61945 + 42864 = 42868 + 23787 + 61943

và $ 23789^2 + 61945^2 + 42864^2 = 42868^2 + 23787^2 + 61943^2$

Đến đây, bạn sẽ phải thốt lên vì thú vị và ngạc nhiên. Nhưng chưa hết, bạn hãy tước bỏ tiếp chữ số đầu tiên của các số hạng, và nếu bạn cẩn thận tính toán thì vẫn thấy rằng:

3789 + 1945 + 2864 = 2868 + 3787 + 1943

và $ 3789^2 + 1945^2 + 2864^2 = 2868^2 + 3787^2 + 1943^2$

Cứ tiếp tục như vậy, các bạn sẽ thu được các đẳng thức kỳ diệu:

789 + 945 + 864 = 868 + 787 + 943

và $ 789^2 + 945^2 + 864^2 = 868^2 + 787^2 + 943^2$



89 + 45 + 64 = 68 + 87 + 43

và $ 89^2 + 45^2 + 64^2 = 68^2 + 87^2 + 43^2$



9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3

và $ 9^2 + 5^2 + 4^2 = 8^2 + 7^2 + 3^2$.



Đó chưa phải là tất cả!!! Nếu bạn không thích bỏ chữ số đầu tiên, thì hãy lần lượt bỏ các chữ số cuối cùng của các số hạng, bạn sẽ thu được các đẳng thức thật là kỳ diệu:

12378 + 56194 + 64286 = 24286 + 32378 + 76194

và $ 12378^2 + 56194^2 + 64286^2 = 24286^2 + 32378^2 + 76194^2$



1237 + 5619 + 6428 = 2428 + 3237 + 7619

và $ 1237^2 + 5619^2 + 6428^2 = 2428^2 + 3237^2 + 7619^2$



123 + 561 + 642 = 242 + 323 + 761

và $ 123^2 + 561^2 + 642^2 = 242^2 + 323^2 + 761^2$



12 + 56 + 64 = 24 + 32 + 76

và $ 12^2 + 56^2 + 64^2 = 24^2 + 32^2 + 76^2$



1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7

và $ 1^2 + 5^2 + 6^2 = 2^2 + 3^2 + 7^2$



Chúc các bạn vui vẻ!


#3 tungsp2

tungsp2

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 28-12-2004 - 11:01

Thú vị lắm , cảm ơn bạn đã cho chúng tui hiểu và bít nhiều hơn! cảm ơn nha

#4 wind of change

wind of change

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 24-05-2006 - 10:27

Hay thật! Nhưng có qui luật gì không hả bạn ? Vì sao mà ta tìm được những số có tổng bằng nhau mà khi lược bỏ lần lượt số đầu hoặc cuối và bình phương lên mà vẫn bằng nhau. Đây chỉ là 1 trong những dãy số bạn đưa ra hay là dãy số duy nhất có tính chất như vậy.
Remember, the greatest gift is not found in a store nor under a tree, but in the hearts of true friends. -- Cindy Lew

#5 No Where To Be Seen

No Where To Be Seen

    "A1 & XVA" Forever!

  • Thành viên
  • 366 Bài viết

Đã gửi 24-05-2006 - 11:01

Lâu lắm rồi mới đọc được mấy cái hay như thế này! Nhưng mà nên sửa lại chút xíu cho dễ đọc, loạn cả mắt!

---------------
Lâu nay tui hay nghe nói đến diễn đàn cũ! Là gì thế?
Hình đã gửi

#6 nomathe

nomathe

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 02-06-2006 - 21:11

khoái nhất là "ĐẲNG THỨC SỐ KỲ LẠ - CÁC SỐ "LỘT XÁC"
không biết ai thông minh mà ngồi mò ra tài quá :beat

#7 quangtrung

quangtrung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Đến từ:Q5 HCM

Đã gửi 04-06-2006 - 08:34

[/tex:08e81ac8cd] [/tex:9950eb2ace]
Là cái rì thế bác Koreagerman?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh