Chủ đề này có 5 trả lời

[toidihoc]

Cho $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $GTLN$ của $P = ab+ bc+ ca - 2abc$.
----
$L$: Chú ý cách đặt tiêu đề cho bài viết!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 24-07-2012 - 11:24

[chrome98]

Giải: Ta có:
$ab+bc+ca-2abc=a(b+c)+bc(1-2a)\leq a(1-a)+\frac{1}{4}(b+c)^2(1-2a)=a(1-a)+\frac{1}{4}(1-a)^2(1-2a)=\frac{1}{4}(1-a)(4a+(1-3a+2a^2))=\frac{1}{4}(1-a)(2a^2+a+1)=\frac{1}{4}((1-2a)a^2+1)\leq \frac{1}{4}((\frac{1-2a+a+a}{3})^3+1)=\boxed{\frac{7}{27}}$
Vậy $P_{max}=\frac{7}{27}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$.

[nthoangcute]

Cho $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $GTLN$ của $P = ab+ bc+ ca - 2abc$.
----
$L$: Chú ý cách đặt tiêu đề cho bài viết!!!

Cách khác :
$$4P \leq 4P+(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$$$=1+abc \leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$$
Suy ra $P \leq \frac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 24-07-2012 - 12:19

[ninhxa]

Cách khác :
$$4P \leq 4P+(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$$$=1+abc \leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$$
Suy ra $P \leq \frac{7}{27}$

Bạn có thể nói rõ cho tớ dc ko? Tớ ko hiểu.

[nthoangcute]

Bạn có thể nói rõ cho tớ dc ko? Tớ ko hiểu.

Chắc cậu biết BĐT Schur chứ !
$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+a)+ca(c+a)$
BĐT này tương đương với bất đẳng thức sau:
$(a+b+c)^3+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Vậy nên áp dụng cái này ta được điều phải chứng minh

[WhjteShadow]

Chúng ta sẽ đi xem xét 1 bài toán tổng quát hơn là:
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.Tìm max min của :
$D=xy+yz+zx-kxyz$
Giải:
TÌM MAX:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc với $x,y,z$ không âm ta có:
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$(Dễ dàng chứng minh) Nhưng do $x+y+z=1$
Nên $xyz\geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$
Khai triển và biến đổi ta có :$\frac{9xyz+1}{4}\geq xy+yz+zx$
Vì vậy $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz$
.Nếu $k\leq \frac{9}{4}$ (Đề bài của bạn $k=2$ nằm tr0ng khoảng này):
Thì $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)(\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{9-k}{27}$ (Do $x+y+z=1$)
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
.Còn nếu $k\geq \frac{9}{4}$ thì $maxD\leq \frac{1}{4}$ (Do $xyz\geq 0$ và $\frac{9}{4}-k\leq 0$)
TÌM MIN:
Ta có $D=xy+yz+zx-kxyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-kxyz\geq (9-k)xyz$
.Nếu $k\leq 9$ Thì $9-k\geq 0\to (9-k)xyz\geq 0$
Dấu = xảy ra khi tr0ng x,y,z có 1 số =0
.Nếu $k\geq 9$ Thì $9-k\leq 0\to (9-k)xyz\geq (9-k)\frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{9-k}{27}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-07-2012 - 13:40