Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng của 100 số thực đã cho bằng 0. CMR: tồn tại ít nhất 99 cặp 2 số cố tổng không âm.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ElenaIP97

ElenaIP97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 Lý-HSGS

Đã gửi 24-07-2012 - 16:46

Tổng của 100 số thực đã cho bằng 0. CMR: tồn tại ít nhất 99 cặp 2 số cố tổng không âm.
Hình đã gửi

#2 famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 25-07-2012 - 08:20

Không biết giải kiểu này đúng không, cứ chém bừa vậy :lol:
Gọi 100 số đó là $a_{1},a_{2},...,a_{100}$. WLOG: $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant ...\geqslant a_{100}$ <1>
Theo đề $\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}=0$ <2>
Giả sử $a_{1}+a_{51}<0$
$\Rightarrow$ $a_{50}+a_{100}$ $\leqslant$ $a_{49}+a_{99}$ $\leqslant$ ... $\leqslant$ $a_{1}+a_{51}$<0 (theo <1>)
$\Rightarrow$ $a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{1}+a_{51} \geqslant$ 0 <3>
Xét 2 trường hợp:
A/ $a_{1}+a_{100} \geqslant 0$ $\Rightarrow$ có 99 cặp 2 số có tổng không âm thỏa mãn đề:
$a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{100}\geqslant 0$
B/ $a_{1}+a_{100} < 0$. Tới đây giả sử tồn tại n $\epsilon$ {3,4,...,51} sao cho $a_{2}+a_{n}<0$:
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \leqslant a_{2}+a_{n} <0 $ (vì $n \leqslant 51$)
Ta có $a_{50}+a_{99}\leqslant a_{49}+a_{98}\leqslant ...a_{2}+a_{51}< 0$(theo <1>) và $a_{1}+a_{100}<0$
$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{100}<0$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn với <2>, điều giả sử sai
$\Rightarrow a_{2}+a_{51} \geqslant 0$ <4>
Từ <3> ta được 50 cặp 2 số tổng không âm: $a_{1}+a_{2}\geqslant a_{1}+a_{3}\geqslant ...a_{1}+a_{51}\geqslant 0$
Từ <4> ta được 49 cặp 2 số tổng không âm: $a_{2}+a_{3}\geqslant a_{2}+a_{4}\geqslant ...a_{2}+a_{51}\geqslant 0$
Như vậy có ít nhất 99 cặp 2 số có tổng không âm
$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 25-07-2012 - 08:22





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh