Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh
* - - - - 1 Bình chọn

Tính giá trị của : $$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 24-07-2012 - 17:57

Bài toán [Tham Lang]
Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$
Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 26-12-2015 - 23:35

Bài toán [Tham Lang]
Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$
Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$

 Từ giả thiết ta có :

$$nxyz=(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(n+3)xyz\Rightarrow \dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xz}+\dfrac{z^2}{xy}=n+3$$

 Lại có : $xy+yz+zx=0\Rightarrow \dfrac{xy}{z^2}=-\dfrac{x+y}{z}\Rightarrow \dfrac{x+y+z}{z}=1-\dfrac{xy}{z^2}$

             $\Rightarrow \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=\dfrac{z}{x+y+z}\Rightarrow \sum \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=1$            $(*)$

 Đặt $a=\dfrac{x^2}{yz};b=\dfrac{y^2}{zx};c=\dfrac{z^2}{xy}\Rightarrow a+b+c=n+3$ và $abc=1$. 

 Từ $(*)$ lại có : $\sum \dfrac{a}{a-1}=1\Leftrightarrow \sum a(b-1)(c-1)=(a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca=3$

 Từ đây ta có :

$$P=\dfrac{1}{a+m}+\dfrac{1}{b+m}+\dfrac{1}{c+m}=\dfrac{(ab+bc+ca)+2m(a+b+c)+3m^2}{abc+m(ab+bc+ca)+m^2(a+b+c)+m^3}=\dfrac{3(m+1)^2+2mn}{(m+1)^3+m^2n}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-12-2015 - 11:00


#3 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 27-12-2015 - 08:33

 Từ giả thiết ta có :

$$nxyz=(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(n+3)xyz\Rightarrow \dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xz}+\dfrac{z^2}{xy}=n+3$$

 Lại có : $xy+yz+zx=1$$\Rightarrow \dfrac{xy}{z^2}=-\dfrac{x+y}{z}\Rightarrow \dfrac{x+y+z}{z}=1-\dfrac{xy}{z^2}$

             $\Rightarrow \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=\dfrac{z}{x+y+z}\Rightarrow \sum \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=1$            $(*)$

 Đặt $a=\dfrac{x^2}{yz};b=\dfrac{y^2}{zx};c=\dfrac{z^2}{xy}\Rightarrow a+b+c=n+3$ và $abc=1$. 

 Từ $(*)$ lại có : $\sum \dfrac{a}{a-1}=1\Leftrightarrow \sum a(b-1)(c-1)=(a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca=3$

 Từ đây ta có :

$$P=\dfrac{1}{a+m}+\dfrac{1}{b+m}+\dfrac{1}{c+m}=\dfrac{(ab+bc+ca)+2m(a+b+c)+3m^2}{abc+m(ab+bc+ca)+m^2(a+b+c)+m^3}=\dfrac{3(m+1)^2+2mn}{(m+1)^3+m^2n}$$

Đoạn này là như thế nào đây $xy+yz+zx=1$

 

 hoanglong2k : Gõ nhầm, đã sửa :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-12-2015 - 18:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh