Chủ đề này có 496 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho $\Delta ABC$ và một điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với BC,AC,AB.
CMR: $\frac{MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{MB_{1}}{BB_{1}}+\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=1$
Từ đây hãy đi cm $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}= \frac{1}{r}$. Với $h_{a},h_{b},h_{c}$ lần lượt là các đường cao hạ từ A,B,C. $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Ta có: $\frac{MA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}$
$\frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_{MAC}}{S_{ABC}}$
$\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}$
Tiếp: Thay $h_a=\frac{2S_{ABC}}{a}$ Và $h_b;h_c$ cũng vậy
Suy ra $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a+b+c}{2S_{ABC}}$
Do $(a+b+c)r=2S_{ABC}$ nên $\frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S_{ABC}}$
Vậy có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 21-02-2013 - 21:33

[NguyenThuybg]

Bài 3 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' sao cho AA', BB',CC' động quy tại O. Gọi Á,B1,C1 lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng BC và B'C', AC và A'C', AB và A'B'. CMR: A1, B1, C1 thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì đi qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
CMinh : $\frac{AB}{AM}+ \frac{AC}{AN}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenThuybg: 22-02-2013 - 15:56

[NguyenThuybg]

Bài 1 bạn xem lại đề nha
Bài 2: $($Hình hơi rối, bạn chịu khó nha $)$
Bổ đề: Định lý Ceva: Cho $A',$ $B',$ $C'$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC,$ $AC,$ $AB$ $($hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh$)$ của tam giác $ABC.$ Điều kiện cần và đủ để các đường thẳng $AA',$ $BB',$ $CC'$ đồng quy là:
$$\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1$$
Chứng minh: Ta kẻ đường phụ qua $A$ và song song với $BC.$ Áp dụng hệ quả của định lí $Talet$ sẽ dễ dàng chứng minh được.

-------------------------------

$AM,$ $BM,$ $CM$ lần lượt cắt $BC,$ $AC,$ $AB$ tại $D,$ $E,$ $F.$
Vì các đoạn $AD,$ $BE,$ $CF$ đồng quy tại $M$ nên $$\frac{BF}{AF}.\frac{CD}{BD}.\frac{AE}{CE}=1$$
Dễ thấy $B'C'//BC.$
Áp dụng định lí $Talet$ vào hai tam giác $ABD$ $(C'A_{1}//BD)$ và $ACD$ $(B'A_{1}//CD),$ ta có:

$\frac{BD}{C'A_{1}}=\frac{AD}{AA_{1}}$ và $\frac{B'A_{1}}{CD}=\frac{AA_{1}}{AD}$

Do đó: $\frac{BD}{C'A_{1}}.\frac{B'A_{1}}{CD}=\frac{AD}{AA_{1}}.\frac{AA_{1}}{AD}=1$

$\Rightarrow \frac{B'A_1}{C'A_1}=\frac{CD}{BD}$

Tương tự ta có: $\frac{A'C_1}{B'C_1}=\frac{BF}{AF}$ và $\frac{C'B_1}{A'B_1}=\frac{AE}{CE}$

Mà $\frac{BF}{AF}.\frac{CD}{BD}.\frac{AE}{CE}=1$

Nên $\frac{A'C_1}{B'C_1}.\frac{B'A_1}{C'A_1}.\frac{C'B_1}{A'B_1}=1$

Vậy $A'A_1,$ $B'B_1,$ $C'C_1$ đồng quy.

Bạn xem lại đề bài bài 1 đi! Đề bài đúng phải là: $BE.DF$ không đổi chứ

Mình sủa lại đề rồi, bạn giúp mình với

[DarkBlood]

Bài 1 .Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳn d quay quanh A cắt BC, CD lần lượt tại E và F. CMR: BE.DF không đổi

Bạn xem lại đề bài bài 1 đi! Đề bài đúng phải là: $BE.DF$ không đổi chứ

Cho mình mượn cái hình
Ta có:
Áp dụng hệ quả $Talet$ vào tam giác $ECF$ $(AB//CF),$ ta có:
$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CF}\ \ \ \ (1)$
Áp dụng hệ quả $Talet$ vào tam giác $ADF$ $(CE//AD),$ ta có:
$\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{CE}$
hay $DF.CE=CF.AD\ \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ ta có:
$\frac{BE}{CE}.DF.CE=\frac{AB}{CF}.CF.AD$
$\Leftrightarrow BE.DF=AB.AD,$ không đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 21-02-2013 - 21:58

[DarkBlood]

Bài 3 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' sao cho AA', BB',CC' động quy tại O. Gọi Á,B1,C1 lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng BC và B'C', AC và A'C', AB và A'B'. CMR: A1, B1, C1 thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì đi qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
CMinh : MA. NC= MB. ND

Bài 4: Bạn xem lại đề nha, đâu có điểm $D$ nào đâu.
Bài 5: Bổ đề: Định lí $Menelaus:$ Cho $A',$ $B',$ $C'$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC,$ $AC,$ $AB$ $($hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh$)$ của tam giác $ABC.$ Điều kiện cần và đủ để các đường thẳng $AA',$ $BB',$ $CC'$ đồng quy là:
$$\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1$$
Cách chứng minh bạn có thể tham khảo tại đây.

-------------------------

Gọi giao điểm của $AA',$ $BB',$ $CC'$ là $M.$

Xét tam giác $BCM,$ ta có:

$A_1\in BC,$ $B'\in BM,$ $C'\in CM$

$\Rightarrow \frac{BA_1}{CA_1}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{CC'}{MC'}=1\ \ \ \ \ \ (Menelaus)$

$\Rightarrow \frac{BA_1}{CA_1}=\frac{BB'.MC'}{MB'.CC'}$

Tương tự với các tam giác $ACM$ và $ABM,$ ta có:

$\frac{CB_1}{AB_1}.\frac{AA'}{MA'}.\frac{MC'}{CC'}=1$ và $\frac{AC_1}{BC_1}.\frac{MA'}{AA'}.\frac{BB'}{MB'}=1$

$\Rightarrow \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{MA'.CC'}{AA'.MC'}$ và $\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AA'.MB'}{MA'.BB'}$

Do đó:

$\frac{BA_1}{CA_1}.\frac{CB_1}{AB_1}.\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{BB'.MC'}{MB'.CC'}.\frac{MA'.CC'}{AA'.MC'}.\frac{AA'.MB'}{MA'.BB'}$

$\Rightarrow \frac{BA_1}{CA_1}.\frac{CB_1}{AB_1}.\frac{AC_1}{BC_1}=1$

Vậy $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 21-02-2013 - 22:51

[eatchuoi19999]

Cho mình mượn cái hình
Ta có:
Áp dụng hệ quả $Talet$ vào tam giác $ECF$ $(AB//CF),$ ta có:
$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CF}\ \ \ \ (1)$
Áp dụng hệ quả $Talet$ vào tam giác $ADF$ $(CE//AD),$ ta có:
$\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{CE}$
hay $DF.CE=CF.AD\ \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ ta có:
$\frac{BE}{CE}.DF.CE=\frac{AB}{CF}.CF.AD$
$\Leftrightarrow BE.DF=AB.AD,$ không đổi.

Tiện quá bạn nhỉ

[NguyenThuybg]

Cảm ơn mọi người
Bài 5 : Cho ta, giác ABC, phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ . Tính góc BAC
BÀi 7; Cho tam giác ABC ( AB không bằng AC ) . D là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . CMR: AD là phân giác góc ngoài của tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenThuybg: 22-02-2013 - 18:06

[Oral1020]

Bài 7:
Gợi ý: Kéo dài $AC$ ta có tia $Cx$
Dựng $E$ trên $AD$ sao cho tam giác $EBA$ cân
$\Longrightarrow \dfrac{EB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}$
$\Longrightarrow EB // AC$
$\Longrightarrow \widehat{BEA}=\widehat{EAx} (slt)$
Do $\Delta{EBA}$ cân $\Longrightarrow \widehat{BEA}=\widehat{BAD}$
$\Longrightarrow ...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 22-02-2013 - 16:16

[eatchuoi19999]

BÀi 7; Cho tam giác ABC ( AB không bằng AC ) . D là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . CMR: AD là phân giác góc ngoài của tam giác ABC

Qua D kẻ đường thằng // $AB$ cắt $AC$ tại H.
Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{HA}{HC}=\frac{AB}{AC}=\frac{HD}{HC}$
$\Rightarrow HA=HD$
$\Rightarrow \widehat{HDA}=\widehat{HAD}$
Mà $\widehat{HDA}=\widehat{DAB}$
$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{DAB}$
$\Rightarrow AD$ là phân giác góc ngoài của $\Delta ABC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 22-02-2013 - 17:01

[DarkBlood]

Bài 4: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì đi qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
CMinh : $\frac{AB}{AM}+ \frac{AC}{AN}=3$

$I$ trung điểm $BC.$ $\Rightarrow $ $A,$ $G,$ $I$ thẳng hàng và $AG=2IG$

Qua $B$ và $C$ kẻ các đường thẳng song song với $AG$ cắt $MN$ lần lượt tại $H$ và $K.$

Dễ thấy $IG$ là đường trung bình hình thang $BCKH$

$\Rightarrow IG=\frac{1}{2}(BH+CK)$

$\Rightarrow BH+CK=2IG=AG$

Áp dụng hệ quả $Talet$ vào các tam giác $MAG$ $(BH\parallel AG)$ và $NAG$ $(CK\parallel AG),$ ta có:

$\frac{BM}{AM}=\frac{BH}{AG}$ và $\frac{CN}{AN}=\frac{CK}{AG}$

$\frac{AB}{AM}=1+\frac{BH}{AG}$ và $\frac{AC}{AN}=1+\frac{CK}{AG}$

Do đó: $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=1+\frac{BH}{AG}+1+\frac{CK}{AG}=2+\frac{BH+CK}{AG}=2+\frac{AG}{AG}=3$

Tiện quá bạn nhỉ

Tiếc gì vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-02-2013 - 20:48

[NguyenThuybg]

Bai : 11 Cho $\widehat{xOy}$, hai điểm A và B lần lượt di động trên hai tia Õ và Oy sao cho $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{m}, với m là một độ dài cho trước. CMR: Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
Bài 12 : Cho tam giác OBC. Hai đường thẳng m và m' làn lượt qua B và C song song với nhau và không cắt các cạnh của tam giác OBC. Gọi A là giao điểm của đường thẳng OC và m, D là giao điểm của đường thẳng Ob và m'.
Xác định vị trí của m và m' để $\frac{1}{BA}+\frac{1}{CD} lớn nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenThuybg: 23-02-2013 - 12:06

[DarkBlood]

Bai : 11 Cho $\widehat{xOy}$, hai điểm A và B lần lượt di động trên hai tia Ox và Oy sao cho $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{m},$ với m là một độ dài cho trước. CMR: Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

$AB$ cắt tia phân giác góc $xOy$ tại $C.$ Qua $C$ dựng đường thẳng song song với $OB,$ $OA$ lần lượt cắt $OA,$ $OB$ tại $E$ và $F.$
Dễ thấy tứ giác $OECF$ là hình thoi.
$\Rightarrow EC=OE$
Ta có:
$\frac{OE}{OA}=1-\frac{AE}{OA}=1-\frac{EC}{OB}=1-\frac{OE}{OB}$
$\Rightarrow \frac{OE}{OA}+\frac{OE}{OB}=1$
$\Rightarrow \frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{OE}$
Mà $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{1}{m}$
Nên $OE=m$
$\Rightarrow E$ cố định
$\Rightarrow C$ cố định
Vậy đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 23-02-2013 - 20:42

[DarkBlood]

Bài 12 : Cho tam giác OBC. Hai đường thẳng m và m' làn lượt qua B và C song song với nhau và không cắt các cạnh của tam giác OBC. Gọi A là giao điểm của đường thẳng OC và m, D là giao điểm của đường thẳng Ob và m'.
Xác định vị trí của m và m' để $\frac{1}{BA}+\frac{1}{CD}$ lớn nhất

Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $m$ cắt $BC$ tại $E$
Ta có:
$\frac{OE}{AB}=\frac{CE}{BC}$ và $\frac{OE}{CD}=\frac{BE}{BC}$
Do đó:
$\frac{OE}{AB}+\frac{OE}{CD}=\frac{CE}{BC}+\frac{BE}{BC}=1$
$\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OE}$
Do đó để $\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$ lớn nhất thì $\frac{1}{OE}$ lớn nhất hay $OE$ nhỏ nhất.
Qua $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $BC$ $(H\in BC)$
Từ đó có $OE\geq OH$
Dấu bằng xảy ra khi $E\equiv H$
$\Leftrightarrow OE\perp BC\Leftrightarrow m\perp BC$ và $m'\perp BC.$
Vậy khi $m$ và $m'$ vuông góc với $BC$ thì $\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$ lớn nhất

[caybutbixanh]

Cảm ơn mọi người
Bài 5 : Cho tam giác ABC, phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ . Tính góc BAC

Kẻ $DE \left | \right |AB (E\in AC)$
Dề thấy ngay $\Delta ADE$ cân $\Rightarrow DE=AE$
THEO ĐỊNH LÝ TA LÉT :
$DE\left | \right |AB\Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}\\\Leftrightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-AE}{AC}\\\Leftrightarrow 1-\frac{DE}{AB}=\frac{DE}{AC}\Leftrightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{DE}.$
Kết hợp với gt ta có ngay $AD=DE=AE.$
$\Delta ADE$ đều $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}=120^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-02-2013 - 21:03

[NguyenThuybg]

Bài 1 : Cho biết các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự là : BC= a; AC = b ; AB=c . CMR :
a) Nếu $\widehat{A}= 2\widehat{B}$ thì $a^{2}= b^{2} + bc$
b) Nếu $a^{2}= b^{2} + bc$ thì $\widehat{A}= 2\widehat{B}$
Bài 10 : Cho tam giác ABC. Vẽ đường phân giác AD của góc BAC . CM : $AD^{2} = AB. AC- DB. DC$

[gbao198]

Cho tam giác ABC vuông tại A có $B=60 ^{\circ}$ . Lấy D trên cạnh AC, E trên cạnh AB sao cho$\widehat{ABD}=20^{\circ}, \widehat{ACE}=10^{\circ}.$ Gọi I là giao điểm của BD và CF.Tính các góc của tam giác IDE

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gbao198: 28-02-2013 - 16:18

[eatchuoi19999]

Mọi người giúp mình bài này với:

Cho $\Delta ABC$ có các số đo như trong hình. Tính độ dài đường phân giác $AD$?

[nk0kckungtjnh]

Mọi người giúp mình bài này với:

Cho $\Delta ABC$ có các số đo như trong hình. Tính độ dài đường phân giác $AD$?

[eatchuoi19999]

Cho hình thang $ABCD$. $E$ $\epsilon$ $BC$. $CK//AE$. Chứng minh: $BK//DE$.

[nk0kckungtjnh]

Bài 1 : Cho biết các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự là : BC= a; AC = b ; AB=c . CMR :
a) Nếu $\widehat{A}= 2\widehat{B}$ thì $a^{2}= b^{2} + bc$
b) Nếu $a^{2}= b^{2} + bc$ thì $\widehat{A}= 2\widehat{B}$
Bài 10 : Cho tam giác ABC. Vẽ đường phân giác AD của góc BAC . CM : $AD^{2} = AB. AC- DB. DC$

Bài 1:
Chiều +) Nếu $\widehat{A}= 2\widehat{B}$ thì $a^{2}= b^{2} + bc$
Trên tia dối BA lấy I sao cho BI=BA. Sau chứng minh $\Delta AIC\sim \Delta ACB(g.g)$
+) Nếu $a^{2}= b^{2} + bc$ thì $\widehat{A}= 2\widehat{B}
Làm tương tự, chứng minh $\Delta AIC\sim \Delta ACB(c.g.c)

Bài 2: Trên AD lấy E sao cho $\angle AEB=\angle ACB$
$\Delta ABE\sim ADC(g.g)$
$AB.AC=AE.AD=AD^{2}+AD.DE$ (1)
$ $\Delta BDE\sim ADC(g.g)$ ==> $AD.DE=bD.DC$ (2)
......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 04-03-2013 - 22:29