Chủ đề này có 2 trả lời

[hungchng]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x-3\sqrt[3]{x}=y-3\sqrt[3]{y} \\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 24-07-2012 - 20:47

[T M]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x-3\sqrt[3]{x}=y-3\sqrt[3]{y} \\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$$

Xét $f(t)=t^3-3t \Longrightarrow f'(t)=2t^2-3<0$ với $t \in [-1;1]$ nên $x=y$

[nthoangcute]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x-3\sqrt[3]{x}=y-3\sqrt[3]{y} \\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$$

Từ giả thiết ta có:
$x-3\sqrt[3]{x}=y-3\sqrt[3]{y}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{xy}-3)=0$
Xét $\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=0$ ta được $x=y$ hay $x=y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Xét $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{xy}=3$
Do $x^2+y^2=1$ nên $x \leq 1$ và $y \leq 1$
Suy ra $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{xy} \leq 3$
Dấu đẳng thức không sảy ra suy ra vô lý
Vậy $x=y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$