Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 25-07-2012 - 10:15

1) Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.
2) Tìm các số nguyên tố $x$, $y$ thỏa mãn phương trình:
$$\left [ \sqrt[3]{1} \right ]+\left [ \sqrt[3]{2} \right ]+...+\left [ \sqrt[3]{x^3-1} \right ]=y$$
trong đó vế trái có $x^3-1$ số hạng.

Thích ngủ.


#2 chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\star\star\star\star\star $

Đã gửi 25-07-2012 - 10:52

Giải a:
Ta giả sử tồn tại $S=n^2+3n-38\vdots 7\Leftrightarrow n^2-4n+4\vdots 7\Leftrightarrow (n-2)^2\vdots 7\Leftrightarrow n-2\vdots 7\Rightarrow n=7k+2 (k\in \mathbb{N})$. Thay vào $S$ ban đầu, ta có:
$(7k+2)^2+3(7k+2)-38=49k^2+49k-28$ không $\vdots 49$.
Vậy không có $n\in \mathbb{N}$ để $S= n^2+3n-38\vdots 49$

#3 famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 25-07-2012 - 22:35

Mình xin nêu ý chính lời giải bài 2/ :D . Nếu cần mình sẽ trình bày chi tiết
Theo định nghĩa phần nguyên ta có
n=$\left [ \sqrt[3]{n^3} \right ]=\left [ \sqrt[3]{n^3+1} \right ]=...=\left [ \sqrt[3]{(n+1)^3-1} \right ]$
Từ $n^3$ tới $(n+1)^3-1$ có số số hạng là: $(n+1)^3-1$-$n^3$+1=$3n^2+3n+1$<1>
$\Rightarrow$ ta tính được y theo cách tính tổng như ở <1>
$\left[\sqrt[3]{n^3}\right] + \left[\sqrt[3]{n^3+1}\right ] +...+ \left[\sqrt[3]{(n+1)^3-1}\right]$=(3$n^2$+3n+1)n
$\Rightarrow$
$\left [ \sqrt[3]{1} \right ]+\left [ \sqrt[3]{2} \right ]+...+\left [ \sqrt[3]{x^3-1} \right ]$
= $3*(1^3+2^3+...+(x-1)^3)$+$3*(1^2+2^2+...+(x-1)^2)$+3*(1+2+...+(x-1) <2>
(Lưu ý là cách tính tổng ở <1> khi áp dụng cho từng số n chạy từ 1 tới x-1 thì sẽ 'bao phủ' hết các số hạng)
Đến đây ta sẽ chứng minh các đẳng thức sau bằng quy nạp:
$1^3+2^3+...+n^3$=$(1+2+...+n)^2$ <3>
$1^2+2^2+...+n^2$=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ <4>
1+2+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ <5> sau đó thay luôn công thức ở <5> vào <3>
Chứng minh quy nạp dễ rồi,xin không trình bày ở đây
Tính tổng <2> dựa theo <3>,<4> và <5>: thay vào rồi nhóm lại ta sẽ được
y=$\frac{(x-1)(x)(3x^2+x)}{4}$=$\frac{(x-1)(3x+1)(x^2)}{4}$ <6>. Xét x lẻ ta được (x-1)(3x+1) $\vdots$ 4
$\Rightarrow$ y $\vdots$ $x^2$ vô lý, loại vì x,y $\epsilon$ P
Vậy x chẵn $\Rightarrow$ x=2. Thay vào <6> được y=7 (thỏa mãn đề)
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn phương trình là x=2,y=7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 25-07-2012 - 22:54


#4 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 26-07-2012 - 10:49

1) Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.

-Cách phản chứng khác:
-Giả sử tồn tại n để $S\vdots 49$
$\rightarrow S\vdots 7$
$\rightarrow 4S\vdots 7$
$\rightarrow 4n^2+12n-152\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2-161\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 49$
$\rightarrow (2n+3)^2-161$ không chia hết cho 49
$\rightarrow 4S$ không chia hết cho 49 (mâu thuẫn)
$\rightarrow dpcm$

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh