Chủ đề này có 5 trả lời

[NguyenTaiLongYoshi]

Câu 1 :
$CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Câu 2:
Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}\geq \sum _{cyc}ab$
__________________
Đề có cho $a,b,c > 0$ ko bạn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 25-07-2012 - 12:29

[nthoangcute]

Câu 1 : Cho $a,b,c>0$
$CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Ta có:
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a \geq 0$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $a^3+a^3+b^3 \geq 3 a^2b$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh...

[nthoangcute]

Câu 2:
Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}\geq \sum _{cyc}ab$

Ta có :
Đặt $a+b-c = x, b+c-a = y, c+a-b = z$
Suy ra $\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}=\sum \frac{2y^4}{x(x+z)} \geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}$
Và $\sum ab=\frac{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zx}{4}$
Đặt $m=x^2+y^2+z^2$ và $n=xy+yz+zx$ suy ra $m \geq n$
Cần chứng minh $\frac{2m^2}{m+n} \geq \frac{m+3n}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{(7m+3n)(m-n)}{4(m+n)} \geq 0$
BĐT này luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

[NguyenTaiLongYoshi]

Ta có:
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a \geq 0$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $a^3+a^3+b^3 \geq 3 a^2b$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh...

Thưa bạn ko cho $a,b,c>0$
_________________________
@BlackSelena: chú ý cách nói bạn ơi =="

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 25-07-2012 - 15:12

[Secrets In Inequalities VP]

Câu 1 : Cho a,b,c >0
$CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

__________________
Đề có cho $a,b,c > 0$ ko bạn ?

Cách khác k phải qui đồng :
BĐT$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$
$+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}\geq 3$
Đúng theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 25-07-2012 - 21:17

[NguyenTaiLongYoshi]

Cách khác k phải qui đồng :
BĐT$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$
$+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}\geq 3$
Đúng theo AM-GM

ĐÚng là bài này ko cho điều kiện $a,b,c>0$ thì không làm được nhỉ !