Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a+b+c=3$. Tìm max $$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

27-7-2012

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 27-07-2012 - 01:46

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 27-07-2012 - 11:00

Ta có $\sum a.\sum a^2=\sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 3\sum a^2b$ (AM-GM) $\Rightarrow \sum a^2\geq \sum a^2b$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow \sum a^2\geq \sum ab^2$
$\Rightarrow P\leq 27\sum a^2+7\sum a^2+2012\sum ab=34(\sum a^2+2\sum ab)+1944\sum ab=34(\sum a)^2+1994\sum ab\leq =6138$
(vì a+b+c=3 và $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$)
$Pmax=6138\Leftrightarrow a=b=c=1$
P/s: cái kết quả có một ý nghĩa, mọi ngừoi hãy tự tìm hiểu :lol:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 27-07-2012 - 11:02

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#3 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 27-07-2012 - 11:50

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Cách khác:
Ta có :$P=7\sum ab(a+b)+20\sum a^{2}b+2012(ab+bc+ca)=7(a+b+c)(ab+bc+ca)+20\sum a^{2}b+2012(ab+bc+ca)-21abc=2033(ab+bc+ca)+20(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)-41abc\leq 2033q-41r+80$
Với $r=abc\geq \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{3}}{9}=\frac{4}{3}q-3$
và$q=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$
suy ra$P\leq 2033q+80-41(\frac{4}{3}q-3)\leq \frac{5935}{3}q+203\leq 6138$ :lol:
FC.Fruit

#4 Stephen Hawking

Stephen Hawking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2012 - 19:17

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Với bài này, có thể sử dụng :
  • $(ab+bc+ca)(a+b+c)=ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a+3abc$
  • $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh