Chủ đề này có 3 trả lời

[Tham Lang]

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

[Poseidont]

Ta có $\sum a.\sum a^2=\sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 3\sum a^2b$ (AM-GM) $\Rightarrow \sum a^2\geq \sum a^2b$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow \sum a^2\geq \sum ab^2$
$\Rightarrow P\leq 27\sum a^2+7\sum a^2+2012\sum ab=34(\sum a^2+2\sum ab)+1944\sum ab=34(\sum a)^2+1994\sum ab\leq =6138$
(vì a+b+c=3 và $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$)
$Pmax=6138\Leftrightarrow a=b=c=1$
P/s: cái kết quả có một ý nghĩa, mọi ngừoi hãy tự tìm hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 27-07-2012 - 11:02

[duongvanhehe]

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Cách khác:
Ta có :$P=7\sum ab(a+b)+20\sum a^{2}b+2012(ab+bc+ca)=7(a+b+c)(ab+bc+ca)+20\sum a^{2}b+2012(ab+bc+ca)-21abc=2033(ab+bc+ca)+20(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)-41abc\leq 2033q-41r+80$
Với $r=abc\geq \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{3}}{9}=\frac{4}{3}q-3$
và$q=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$
suy ra$P\leq 2033q+80-41(\frac{4}{3}q-3)\leq \frac{5935}{3}q+203\leq 6138$

[Stephen Hawking]

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Với bài này, có thể sử dụng :

• $(ab+bc+ca)(a+b+c)=ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a+3abc$
  
• $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$