Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm 3 số tự nhiên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 l.kuzz.l

l.kuzz.l

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết

Đã gửi 27-07-2012 - 21:53

Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thoả mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.
Chúng ta không thể biết chính xác 100% việc sẽ xảy ra trong tương lai
Và đây là điều duy nhất ta có thể biết 100% trong tương lai


#2 famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 28-07-2012 - 09:53

Đặt 3 số đó là a,b,c $\epsilon$ $Z^+$. WLOG: 1<a<b<c <1>
Theo đề ta có ab+1 $\vdots$ c;bc+1 $\vdots$ a;ca+1 $\vdots$ b
$\Rightarrow$ đặt M=$\frac{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}{abc}$ ta có M $\epsilon$ N
Phá ngoặc ta được M=abc+a+b+c+($\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$).
Do M $\epsilon$ N $\Rightarrow$ đặt P=$\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$ ta có P $\epsilon$ N
Từ <1> ta có $\frac{1}{abc}<\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ $\Rightarrow$ P<$\frac{4}{a}$ $\leq$ $\frac{4}{2}$=2 <2>
$\Rightarrow$ P=1 <3>. Mà theo <2> có P<$\frac{4}{a}$ $\Rightarrow$ a<4 <3>. Kết hợp với <1> có a $\epsilon$ {2;3}
Xét a=2 ta được $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}$=1 $\Rightarrow$ $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$
Lại chặn như ở <3> ta có $\frac{3}{b}$>$\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ b<6 $\Rightarrow$ b $\epsilon$ {3;4;5} (do b>a)
Xét b=3 thế vào được c=7;xét b=4 thế vào được c=4,5(loại),xét b=5 được c=$\frac{11}{3}$(loại)
Xét a=3 ta được b $\geq$ 4, c $\geq$ 5,abc $\geq$ 3*4*5=60 $\Rightarrow$ P $\leq$ $\frac{1}{60}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ <1
( mâu thuẫn với <3>,loại)
Như vậy bộ 3 số tự nhiên đó là {2;3;7} và các hoán vị.

#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 28-07-2012 - 20:49

Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thoả mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.

Bài này mình đã giải trên VMF một lần rồi, sau đây là lời giải khác
Giải như sau:
Nhận thấy $(ab+1)(bc+1)(ca+1) \vdots abc \Rightarrow abc.X+ab+bc+ca+1 \vdots abc \Rightarrow ab+bc+ca+1 \vdots abc$
Mà $ab+bc+ca+1\le 3abc$ do $a,b,c>1$
Nên suy ra $ab+bc+ca+1=abc,2abc,3abc$ đến đây sử dụng chặn là xong :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-07-2012 - 20:50





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh