Chủ đề này có 2 trả lời

[daothanhoai]

Cho tứ giác ABCD điểm M,N là trung điểm của AB,BC hình chiếu của M trên CD là P; hình chiếu của N trên AD là Q. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi MQ=NP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 28-07-2012 - 13:32

[pidollittle]

Có ABCD là hình bình hành $\Rightarrow$ MQ=NP
Từ N vẽ $NK\perp MP$ $\Rightarrow$ NK là đường trung bình của hình thang MPCP
Có NK là đường cao và trung tuyến của $\Delta MNP$$\Rightarrow MN=NP$ (1)
Tương tự với $\Delta QMN$ ta có MQ=MN (2)
(1) và (2) $\Rightarrow MQ=NP$
p/s: còn điều ch/m ngược lại tớ chưa biết làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pidollittle: 28-07-2012 - 15:35

[nhatoanhocVuVanKhoi]

Em xin giới thiệu cách sử dụng định lý hàm sin:
Gọi K là giao điểm của MP và NQ
DA $\perp$ NQ mà DA $\parallel$ BC $\Rightarrow$ BC $\perp$ NQ (1)
CM tương tự: MP $\perp$ CD (2)
Mà M, N là trung điểm của AB, BC (3)
(1) (2) (3) ta có: KN, KM lần lượt là trung điểm của BC, AB $\Rightarrow$ KC = KA
CM được KNCP nội tiếp đ.tròn đường kính KC$\Rightarrow$ NP=KC.sinNKP
CM tương tự: MQ=KA.sinQKM mà KC = KA (cmt), $\widehat{NKP}=\widehat{QKM}$ nên MQ=NP