Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2012 - 16:00

CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.

#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-07-2012 - 17:52

$$(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$$
$$\Leftrightarrow sin^2x+(a+b)sinxcosx+abcos^2x \leq 1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2, \ \ \ (1)$$
Dễ thấy, khi $cosx = 0$, BĐT hiển nhiên đúng.
Khi $cosx \neq 0$ ta có
$$(1)\Leftrightarrow tan^2x+(a+b)tanx+ab \leq \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+tan^2x \right )$$
Đặt $t=tanx$, BĐT đang xét trở thành:
$$t^2+(a+b)t + ab - \left [1 + \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 \right ]\left ( 1+t^2 \right ) \leq 0$$
$$\Leftrightarrow -\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 t^2+(a+b)t + ab - 1 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 \leq 0, \ \ (2)$$
*) Nếu $a+b=0$, (2) hiển nhiên đúng.
*) Nếu $a+b \neq 0$, thì đặt $f(t)$ là vế trái $(2)$, ta có:

$$f(t) \leq f\left ( \frac{2}{a+b} \right ) = -\left (\frac{a-b}{2} \right )^2 \leq 0$$
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b \neq 0$ và $tanx = \frac{2}{a+b}$

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Stephen Hawking

Stephen Hawking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2012 - 18:07

CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.

Cách 2.
Biến đổi tương đương, cần chứng minh :
$$2\left [(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x}\right ] \le a^2+b^2+2$$
Sử dụng CS, ta có :
$$(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x} \le \sqrt{(a+b)^2+(ab-1)^2}=\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$2\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}\le a^2+b^2+2$$
$$\Leftrightarrow 4\left (a^2+b^2+a^2b^2+1\right ) \le a^4+b^4+2a^2b^2+4\left (a^2+b^2\right )+4$$
$$\Leftrightarrow \left (a^2-b^2\right )^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng.BĐT đã được chứng minh.:P




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh