Chủ đề này có 1 trả lời

[Stephen Hawking]

Bài toán :
Cho $a, b$ là các số thực không âm. $n \in N$. Chứng minh rằng :
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$

[bibitsubomi 9fxshiftsolve]

$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$ (*)

$a=b$ (*) luôn đúng

$a\neq b$

gs $a>b$

CM (*) <=> CM $(n+1)(a^{n+1}+b^{n+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{n+1}-b^{n+1}) (1)$

$n\in \left \{ 0;1 \right \} \rightarrow (1)$ đúng

gs (1) đúng đến $n=k-1$ hay $(k)(a^{k}+b^{k}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k}-b^{k}) $

ta sẽ c/m $(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1}) \geq \frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k-1}) $

sd AM-GM dễ dàng c/m đc

$\frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})(a^k-b^k)}{k(a^k+b^k)(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq 1$

$\Rightarrow \frac{(k+1)(a^{k+1}+b^{k+1})}{\frac{a+b}{a-b}(a^{k+1}-b^{k+1})}\geq \frac{k(a^k+b^k)}{\frac{a+b}{a-b}(a^k-b^k)}\geq 1$

(1) đc c/m $\rightarrow $ (*) đc c/m