Chủ đề này có 1 trả lời

[ironman]

Cho tam giác ABC, A thuộc Ox, $0< xa< \frac{5}{2}$. Hai đường cao kẻ từ B và C có phương trình $x-y+1= 0$ và $2x+y-4= 0$. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác để S_ABC lớn nhất.

[E. Galois]

Giả sử $A(a;0), B(b;b+1), C(c;4-2c)$ ta có $\overrightarrow{AB}=(b-a;b+1),\overrightarrow{AC}=(c-a;4-2c)$ lần lượt là vecto pháp tuyến của các đường cao $CK, BH$. Từ đó, ta tìm được $b=-a-2;c=4-a$
Vậy $B(-a-2;-a-1),C(4-a;2a-4)$
Ta có
$$\overrightarrow{AB}=(-2a-2;-a-1),\overrightarrow{AC}=(4-2a;2a-4);\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 2(a+1)(a-2)$$
$$AB=\left | a+1 \right |\sqrt5;AC=\left | a-2 \right |\sqrt8;AB.AC=\left | (a+1)(a-2) \right |\sqrt{40}$$
Do đó
$$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( AB.AC \right )^2-\left ( \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC} \right )^2}=3|a^2-a-2| \leq \frac{27}{4}$$

Dấu "=" trong BĐT ở trên xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$. Tức là:
$$A\left ( \frac{1}{2};0 \right ),B\left ( -\frac{5}{2};-\frac{3}{2} \right ),C\left ( -\frac{7}{2};-3 \right )$$