Đến nội dung

Hình ảnh

$a\leq b+3$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
Bài toán : Cho $n\geq 2$ . Gọi a là số nguyên lón nhất sao cho : $2^{a}\mid (5^{n}-3^{n})$ , gọi b là số nguyên lón nhất sao cho $2^{b}\leq n$ .
CMR : $a\leq b+3$
( không dùng LTE càng tốt :icon6: )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 29-07-2012 - 11:06


#2
The Gunner

The Gunner

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
ta có $a=v_2(5^n-3^n)=v_2(8)+v_2(n)=3+v_2(n) \leq 3+b$ vì $v_2(n) \leq b$
P/s: quên đọc dòng ko dùng LTE :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 29-07-2012 - 19:36

Những ngày cuối cùng còn học toán

winwave1995

#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài toán : Cho $n\geq 2$ . Gọi a là số nguyên lón nhất sao cho : $2^{a}\mid (5^{n}-3^{n})$ , gọi b là số nguyên lón nhất sao cho $2^{b}\leq n$ .
CMR : $a\leq b+3$
( không dùng LTE càng tốt :icon6: )

Không dùng LTE đây :D số học thuần túy :D
Giải như sau:
TH1: $n$ lẻ suy ra $5^n-3^n \equiv 2 \pmod{4} \rightarrow a=1$ suy ra hiển nhiên đúng
TH2: $n$ chẵn suy ra $n=2^k.l$ với $l$ lẻ suy ra $2^b\le 2^k.l \Rightarrow b\geq k$ vì nếu $b<k$ thì suy ra $2^b$ không phải số có dạng $2^x$ mà $x$ lớn nhất và $2^x\le 2^k.l$
Do đó $b\geq k$
Mặt khác khi $n=2^k.l$ thay vào $5^n-3^n$
Ta có $5^n-3^n=(5^l)^{2^k}-(3^l)^{2^k}=(5^l-3^l)(5^l+3^l)\left((5^l)^{2^1}+(3^l)^{2^1}\right)...\left((5^l)^{2^{k-1}}+(3^l)^{2^{k-1}}\right)$
Nhận thấy $5^l-3^l \equiv 2 \pmod{4}$ (do $l$ lẻ)
Các số hạng dạng $(5^l)^{2^t}+(3^l)^{2^t} \equiv 2 \pmod{4}$ do mũ $2^t$ chẵn
Ngoài ra $5^l+3^l=(5+3)(5^{l-1}-5^{l-2}.3...+5^2.3^{l-3}-5.3^{l-2}+3^{l-1})$
Thấy $(5^{l-1}-5^{l-2}.3...+5^2.3^{l-3}-5.3^{l-2}+3^{l-1})$ lẻ do có $l$ phần tử, mỗi phần tử lẻ
Do đó từ những nhận định trên suy ra $(5^l-3^l)(5^l+3^l)\left((5^l)^{2^1}+(3^l)^{2^1}\right)...\left((5^l)^{2^{k-1}}+(3^l)^{2^{k-1}}\right)$ khi chia $2^a$ thì $a\le k+3$ mà $k\le b \Rightarrow a\le b+3$ $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-07-2012 - 15:34





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh