Chủ đề này có 2 trả lời

[chanlonggiangthe]

Cho $x,y>0$, $x+y \ge 4$
Tìm $\min P = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-07-2012 - 20:18

[BlackSelena]

Cho $x,y>0$, $x+y \ge 4$
Tìm $\min P = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x}$

Áp dụng bđt $\text{ Cauchy Schwarz dạng Engel}$ ta có
$P \geq \frac{(x+y)^2}{x+y} = x+y \geq 4$

[Beautifulsunrise]

Cho $x,y>0$, $x+y \ge 4$
Tìm $\min P = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x}$

Cách 2: P = $\frac{{{x^2}}}{y} + y + \frac{{{y^2}}}{x} + x - (x + y) \geq 2(x+y)-(x+y)=x+y\geq 4$
Cách 3: P = $ \frac{x^3+y^3}{xy} \geq \frac{xy(x+y)}{xy}=x+y \geq 4$
Cách 4: Áp dụng BĐT Holder ta có:
$(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x})(y+x) \geq (\sqrt{\frac{x^2}{y}.y}+\sqrt{\frac{{{y^2}}}{x}.x})^2 = (x+y)^2 => P \geq x + y \geq 4$
Cách 5: Áp dụng BĐT Trêbưsép ta có: $2P \geq (x+y)(\frac{{{x}}}{y}+\frac{{{y}}}{x}) \geq 2(x+y) => P \geq x + y \geq4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 29-07-2012 - 20:36