Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Những bài bất đẳng thức chưa có lời giải

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-07-2012 - 21:04

Các bạn bấm vào từng link để thảo luận. Những bài đã x0ng hãy thông báo ở topic này. Những thông báo cũ sẽ được xóa và topic được cập nhật liên tục :)

Những bài tô đỏ là những bài đã cập nhật lời giải.

Bài 1:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng 3.CMR
\[\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Bài 2:
Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+bc}}\leq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Bài 3:
Cho $x_1$, $x_2$, $x_3$,..., $x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng:
$$x_1\left ( 1-x_2 \right )+x_2\left ( 1-x_3 \right )+....+x_{n-1}\left ( 1-x_n \right )+x_n\left ( 1-x_1 \right )\leq \left [ \frac{n}{2} \right ]$$
Bài 4:
Cho $a,b,c\geq 0$và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$$ \frac{a^{2}b}{1+a+b}+\frac{b^{2}c}{1+b+c}+\frac{c^{2}a}{1+c+a}\leq 1$$
Bài 5:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b+\dfrac{(c-a)^2}{4}}+\sqrt{c+\dfrac{(a-b)^2}{4}}\le \sqrt{3}+\left (1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )\left (|a-b|+|b-c|+|c-a|\right )$$
Bài 6:
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mản $a+b+c=3$. Chứng minh:
\[\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\ge \frac{9}{10}\]
Bài 7:
Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:
\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]
Bài 8:
Cho các số thực không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (ab+\dfrac{c}{a+b}\right )\left (bc+\dfrac{a}{b+c}\right )\left (ca+\dfrac{b}{c+a}\right )\le \dfrac{1}{4}$$
Bài 9:
Cho $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=0,y_1+y_2+y_3=0$. CMR
\[\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\frac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+\frac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\frac32.\]
Bài 10:
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho $a \le b \le c$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
Bài 11:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng $$(a^2+2bc)^{2012}+(b^2+2ca)^{2012}+(c^2+2ab)^{2012}\le (a^2+b^2+c^2)^{2012}+2(ab+bc+ca)^{2012}.$$
Bài 12:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{\sqrt{\left (a^2+ab+b^2\right )\left (b^2+bc+c^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (b^2+bc+c^2\right )\left (c^2+ca+a^2\right )}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left (c^2+ca+a^2\right )\left (a^2+ab+b^2\right )}}\ge 4+\dfrac{8}{\sqrt{3}}$$
Bài 13:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 14:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài 15:
Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 $$
Bài 16:
Cho hàm số $f(x) = a_1sinx + a_2sin2x + ... + a_nsinnx$. Chứng minh rằng:
Nếu $|f(x)| \leq |sinx|$ ; với mọi $x \in [-1;1]$ thì $| a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... +na_n | \leq 1.$
Bài 17:
Cho $a,b,c$ là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh
$$\dfrac1{\sqrt{(1+a+b^2)(1+b+c^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+b+c^2)(1+c+a^2)}}+\dfrac1{\sqrt{(1+c+a^2)(1+a+b^2)}}\le 1$$
Bài 18:
Cho $a,b,c>0$. CMR
$$ \sum \dfrac{b+c}{2a^2+bc} \ge \dfrac{6}{a+b+c} $$
Bài 19:
Cho $a^2+b^2+c^2=2$. CMR
$$a^3+b^3+c^3-abc \le 2 \sqrt{2}$$
Bài 20:
Cho $x,y,x\geq \sqrt{3}.$ $x+y+z=6.$ Tìm min:
$$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}).$$
Bài 21:
Cho các số nguyên $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn :
$$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}\ \in Z \\ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \in Z \end{array}\right.$$
Chứng minh rằng :
$$P = \dfrac{3a^4}{b^2} + \dfrac{2b^4}{c^2} + \dfrac{c^4}{a^2} - 4|a| - 3|b| - 2|c| \ge 0$$
Bài 22:
Cho a,b,c,d là các số thực dương sao cho $a\geq b\geq c\geq d$ . Chứng minh rằng:
$$\frac{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq (\frac{3}{2})^4$$
Bài 23:
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x) \neq 0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$
Bài 24:
Cho các số dương $x_1, x_2, x_3$ và các số $y_1, y_2, y_3$ thỏa mãn hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ y_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \end{array} \right.$$
Trong đó $a_{ij} > 0$ thỏa $$\left\{\begin{array}{1}a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 1 (i = 1,2,3) \\a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} = 1 (j = 1, 2, 3) \end{array} \right.$$
Chứng minh rằng :
$$x_1x_2x_3 \le y_1y_2y_3$$
Bài 25:
Cho biết $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :
$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 10:11

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 29-07-2012 - 21:05

Bài 26:
Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{\sqrt{4a + 5b^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{4b + 5c^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{4c + 5a^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$
Bài 27:
Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$
Bài 28:
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC $cố định.
Bộ $a, b, c, x, y, z$ $(x, y, z \ge 0)$ thoả mãn $ax + by + cz = 2RS_{ABC}$
Tìm max của :
$$A = ayz + bxz + cxy$$
Bài 29:
Cho các số không âm $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b + c}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c + a}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a + b}} \ge 2\sqrt{\dfrac{abc}{(a + b)(b + c)(c + a)} + 1}$$
Bài 30:
Chứng minh rằng trong đa giác, tồn tại 2 cạnh $a, b$ sao cho :
$$1 \le \dfrac{b}{a} < 2$$
Bài 31:
Cho $a,b>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2 \ge \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$$
Bài 32:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn:$a^3+b^5 \le a^2+b^2$.Chứng minh rằng:
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le \frac{1}{2}$$
Bài 33:
Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn :$a + b + c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a + b}{c + 1}} + \sqrt{\dfrac{b + c}{a + 1}} + \sqrt{\dfrac{c + a}{b + 1}} \ge 3$$
Bài 34:
Cho $a,b,c,\alpha \in (0;1]$.Chứng minh rằng:
$$\frac{(x-1)^2}{x^{\alpha.y+(1-\alpha)z}}+\frac{(y-1)^2}{y^{\alpha.z+(1-\alpha)x}}+\frac{(z-1)^2}{z^{\alpha.x+(1-\alpha)y}} \ge \sum x^{2012}-\sum xy(x^{2011}+y^{2011})+xyz(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011})$$
Bài 35:
Cho $0 \leq a \leq 1, a \in \mathbb{R}$, $n$ là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 4. Chứng minh:
$$ \left( \frac{1}{2}+ \frac{\sin\left[ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4n} \right) \pi \right]}{2\sin\left( \frac{\pi}{4n} \right)} \right)^a \leq 1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} {\frac{1}{k} \left( k\cos\left( \frac{k\pi}{2n} \right) \right)^a} $$
Bài 36:
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x + y + z = 1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{y^2 + z} + \dfrac{y}{z^2 + x} + \dfrac{z}{x^2 + y} \ge \dfrac{9}{4}$$
Bài 37:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không, thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{5a^2}{2a^2+3}+\frac{5b^2}{2b^2+3}+\frac{5c^2}{2c^2+3}+\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq 4$$
Bài 38:
Cho $ a , b , c , d$ không âm thoả mãn: $ a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{a +b + c^2}+ \sqrt{b +c + d^2}+ \sqrt{c +d + a^2}+ \sqrt{d +a + b^2} \ge 3$$
Bài 39:
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}\geq 10\]
Bài 40:
Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Bài 41:
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh \[\dfrac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2+ac+bc}+\dfrac{bc(b^2+c^2)}{b^2+c^2+ba+ca}+\dfrac{ca(c^2+a^2)}{c^2+a^2+cb+ab}\le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\]
Bài 42:
Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:
$$8{\left( {\sum x } \right)^3}xyz{\prod {\left( {x + y} \right)} ^2} \ge {\left( {\sum {{{\left( {x + y} \right)}^2}} } \right)^3}\prod {\left( {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) - 2yz} \right)} $$
Bài 43:
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $a+b+c+abc=0$
TÌm min, max của: $$P= \dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$$
Bài 44:
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong mặt phẳng tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:
$$\dfrac{{MA.MB}}{{CA.CB}} + \dfrac{{MB.MC}}{{AB.AC}} + \dfrac{{MC.MA}}{{BC.BA}} \ge 1.$$
Bài 45:
Cho $a,b,c>0;k \ge 1$. Chứng minh rằng:
$$(b^2a+c^2b-a^2c)(a^2c+c^2b-b^2a)(a^2c+b^2a-c^2b)[8(a^2c+b^2a+c^2b)+3abc] \le 3^{\dfrac{3}{k}}.(abc)^{3+\dfrac{1}{k}}$$
Bài 46:
Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa $xyz=x+y+z+2$.Chứng minh rằng:
$$\left(\underset{cyc}{\sum}\dfrac{x^2y^2}{y+z} \right)\left[\underset{sym}{\sum}\dfrac{1}{(a+b)^2} \right] \ge \dfrac{9(x+y+z+6)}{4[2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)]}$$
Bài 47:
Cho $\cos{\dfrac{5A}{2}}+\cos{\dfrac{5B}{2}}+\cos{\dfrac{5C}{2}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Hãy nhận dạng tam giác $ABC$
Bài 48:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
$$a^{n}.b(b-c) + b^{n}.c(b-c) + c^{n}.a(c-a) \geq 0$$
Bài 49:
Cho trước số nguyên dương $n$ và $n$ số thực : $ a_1 ; a_2 ; ...; a_n$
Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức :
$$ \prod_{i=1}^{n} \left( a^4_i -a_i + n \right) \ge n^{n-3} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^3$$
Bài 50:
Cho $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ thỏa mãn hệ BPT sau:
$$ \begin{cases} x_1-x_2+x_3-x_4+x_5>0 \\ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5>0 \\ -x_1+x_2+x_3-x_4+x_5>0 \\ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5>0 \\ -x_1+x_2-x_3+x_4+x_5>0 \end{cases}$$
Tìm giá trị lớn nhất của $$(x_1+x_3)^{x_2+x_4}$ nếu biết rằng $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=100.$$ Có bao nhiêu bộ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ tương ứng với giá trị lớn nhất vừa tìm được
Bài 51:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^{a^2}b^{b^2}c^{c^2}}{3\sqrt{3}} \ge a^{b^2+1}b^{c^2+1}c^{a^2+1}$$
Bài 52:
Cho $a,b,c>0$. CM:
$$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}$$
Bài 53:
Cho $a,b,c>0$. CMR:
$${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^2} + {(\dfrac{b}{c})^2} + {(\dfrac{c}{a})^2} + \dfrac{{10(ab + bc + ca)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge 13$$
Bài 54:
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng
$$a^{12}\sqrt[3]{(a^{18}+26b^{9}c^{9})^2}+b^{12}\sqrt{(b^{18}+26a^{9}c^{9})^{2}}+c^{12}\sqrt[3]{(c^{18}+26a^{9}b^{9})^{2}}\leq (a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}$$
Bài 55:
Cho các số thực : $ x_1 ; x_2 ; .... ; x_n $ thoả mãn : $ x_1 \ge x_2 \ge ... \ge x_n \ge 0$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$ \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \dfrac{ x^2_k + x^2_{k+1} + ... + x^2_n}{k}} \le \dfrac{\pi}{2} \sum_{k=1}^{n} x_k $$
Bài 56:
Cho trước số thực dương $k$ ; $4$ biến $a ; b ; c ; d $ thay đổi thoả mãn $ a\ge b\ge c\ge d\ge 0 $ và $ a+b+c+d = 1 $ ; tìm số thực $ \lambda$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng :
$$ \dfrac{a-b}{k+c+d}+\dfrac{b-c}{k+d+a}+\dfrac{c-d}{k+a+b}+\dfrac{d-a}{k+b+c}\ge\lambda (a-b)(b-c)(c-d) $$
Bài 57:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \dfrac{9}{4}$$
Bài 58:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} \ge \dfrac{5}{2}$$
Bài 59:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1.CMR
$$\dfrac{1}{{\sqrt {a + b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {b + c} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {c + a} }} \ge 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$$
Bài 60:
Cho các số thực không âm a,b,c mà ab+bc+ca=1. Với những gtri nào của k thì BĐT sau đúng
$$\dfrac{1}{{{{(a + b)}^k}}} + \dfrac{1}{{{{(b + c)}^k}}} + \dfrac{1}{{{{(c + a)}^k}}} \ge 2 + \dfrac{1}{{{2^k}}}$$
Bài 61:
Cho các số thực dương $a,b,c,d$ có tổng bằng 4. CMR:
$$\dfrac{ab}{\sqrt{2a^{3}+bc}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2b^{3}+cd}}+\dfrac{cd}{\sqrt{2c^{3}+da}}+\dfrac{da}{\sqrt{2d^{3}+ab}}\geq \dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{\dfrac{14}{3}}$$
Bài 62:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{12(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^3}\geq \dfrac{7}{a+b+c}$$
Bài 63:
Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$$\sum\dfrac{b^2}{a^2(a+b)+c^2(b+c)}\leq \dfrac{9(a^5+b^5+c^5)}{4(a^2b+b^2c+c^2a)(b^2a+c^2b+a^2c)}$$
Bài 64:
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{b + c}{a}} \ge 2\left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{b + c}}\right).\sqrt{1 + \dfrac{(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc}{4\sum\limits_{cyc} a(a + b)(a + c)}}.$$
Bài 65:
Cho $a,b>0$ thỏa $a+b=2$.Chứng minh rằng nếu $k \geq \dfrac{1}{2}$ thì BĐT sau đúng :
$$a^{a^{kb} } .b^{b^{ka} } \ge 1$$
Bài 66:
Cho $a, b, c $ không đồng thời bằng 0.
Tìm GTNN của $$S= \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \dfrac{\sqrt{3(c^2+a^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Bài 67:
Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:
$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$
(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 10:48

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2013 - 13:06

Update lần 3. Hầu như là những bài mình p0st :luoi: Những t0pic mình p0st thường có 1 bài dễ 1 bài khó :)
Bài 68.
Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:
$$\frac{\sqrt{a^2+3bc}}{(b+c)(a+8b)}+\frac{\sqrt{b^2+3ac}}{(a+c)(b+8c)}+\frac{\sqrt{c^2+3ab}}{(a+b)(c+8a)}\geq \frac{1}{a+b+c}$$

Bài 69:
Ch0 $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\ge 3$$
Chặt hơn :P
Bài 70:
Chứng minh với mọi tam giác $ABC$ có 2 góc $\geq 60^{o}$ ta luôn có:
$$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geq \sqrt{9+\frac{R-2r}{R}}$$

Bài 71.
Ch0 các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{a^2b+b^2c}+\sqrt{b^2c+c^2a}+\sqrt{c^2a+a^2b}\leq 3\sqrt{2}$$
Bài 72.
Chứng minh rằng với mọi thực dương $a,b,c$ ta luôn có:
$$\frac{3(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}$$

Bài 73.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^2}+\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}\geq \frac{5}{2}$$
Bài 74.
Ch0 $a,b,c>0\, , \, a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\geq 8$$

Bài 75.
Cho a,b,c dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm GTNN của A=$(a+b)^{3}(b+c)^{4}(c+a)^{5}$
Bài 76.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, Chứng minh rằng:
\[\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 9.\]

Bài 77.
Ch0 các số $a,b,c>0$ và $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$a\alpha+b\beta+c\gamma=0$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$D=a.t^{\alpha}+b.t^{\beta}+c.t^{\gamma}$$
Bài 78.
Chứng minh với mọi $a,b,c$ là các số thực dương ta luôn có:
$$\frac{1}{a+b+\frac{1}{abc}+1}+\frac{1}{b+c+\frac{1}{abc}+1}+\frac{1}{c+a+\frac{1}{abc}+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+c+1}$$

Bài 79:
Ch0 $x,y>0$ thỏa mãn $xy<1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2+\left(\frac{2y}{y^2+1}\right)^2\leq \frac{1}{1-xy}$$

Bài 80.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $[1;2]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{10a}{bc}+\frac{11b}{ac}+\frac{12c}{ab}\leq \frac{69}{2}$$

Bài 81.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a. \sqrt[3]{a+b}+b. \sqrt[3]{b+c}+c. \sqrt[3]{c+a} \ge 3 \sqrt[3]{2}$$
Bài 82.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
\[ \sqrt[3]{a^3-a+1}+\sqrt[3]{b^3-b+1}+\sqrt[3]{c^3-c+1} \geq a+b+c.\]

Bài 83.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$a^3+b^3+c^3+2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)$$
Bài 84.
Ch0 $3n$ số thực $a_1,a_2,....,a_n\\b_1,b_2,....,b_n\\x_1,x_2,....,x_n$
Thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n} a_i x_i=0\\ \sum_{j=1}^{n} b_j x_j=1$
Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)-(\sum_{i=1}^{n} a_ib_i)^2}$$
Bài 85.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$(a^3b+b^3c+c^3a)(ab+bc+ca)\leq 16$$

Bài 86. (THPT :)) )
Ch0 các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}ab+bc+ca=3\\(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)=2\end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$P=a^2+b^2+c^2+(a-b)(b-c)(c-a)-abc(a+b+c)$$

Bài 87.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca>0$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{(a+b)^2}{a^2+3ab+4b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+3bc+4c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+3ca+4a^2}\geq \frac{3}{2}$$

Bài 88.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$$

Bài 89.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$

Bài 90.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^4+b^4+c^4=3$.Chứng minh rằng:
$$a^7+b^7+c^7+abc\geq 4$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-02-2017 - 22:24

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2013 - 10:55

Đã cập nhật lại lời giải cho các bài toán trong danh sách,tính đến thời điểm này (11/3/2013) .Các bài tô đỏ là đã có lời giải.

Spoiler

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh