Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế 2012 (IMC 2012)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-07-2012 - 23:31

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2012 được tổ chức bởi University College London và American University đặt tại Bulgaria. Sự kiện diễn ra tại Blagoevgrad, Bulgaria, từ 26/07 đến 01/08 năm 2012. Mỗi trường Đại học được mời sẽ gửi một số sinh viên và một giáo viên. Các thí sinh tham gia với tư cách cá nhân cũng được chào đón. Đề thi gồm 2 phần và mỗi phần được làm trong thời gian 5 giờ. Các bài toán thuộc các lĩnh vực của Đại số, Giải tích (thực và phức), Hình học và Tổ hợp.

Sau đây là đề thi hai vòng IMC 2012 (bản tiếng Anh)

Day 1, July 28, 2012

Problem 1. For every positive integer $n$, let $p(n)$ denote the number of ways to express $n$ as a sum of positive integers. For instance, $ p(4)=5 $ because
\[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. \]
Also define $ p(0)=1 $. Prove that $ p(n)-p(n-1) $ is the number of ways to express as a sum of integers each of which is strictly greater than $1$.

Problem 2. Let $n$ be a fixed positive integer. Determine the smallest possible rank of an $ n\times n $ matrix that has zeros along the main diagonal and strictly positive real numbers off the main diagonal.

Problem 3. Given an integer $n>1$, let $ S_{n} $ be the group of permutations of the numbers $ 1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n $. Two players, $A$ and $B$, play the following game. Taking turns, they select elements (one element at a time) from the group $ S_{n} $. It is forbidden to select an element that has already been selected. The game ends when the selected elements generate the whole group $ S_{n} $. The player who made the last move loses the game. The first move is made by $A$. Which player has a winning strategy?

Problem 4. Let $ f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ be a continuously differentiable function that satisfies $ f'(t)>f(f(t)) $ for all $ t\in\mathbb{R} $. Prove that $ f(f(f(t)))\le0 $ for all $ t\ge0 $.

Problem 5. Let $a$ be a rational number and let $n$ be a positive integer. Prove that the polynomial $ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $ is irreducible in the ring $ \mathbb{Q}[X] $ of polynomials with rational coefficients.

Day 2, July 29, 2012

Problem 6. Consider a polynomial $ f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}$. Albert Einstein and Homer Simpson are playing the following game. In turn, they choose one of the coefficients $ a_{0},a_{1},\dots,a_{2011} $ and assign a real value to it. Albert has the first move. Once a value is assigned to a coefficient, it cannot be changed any more. The game ends after all the coefficients have been assigned values.

Homer's goal is to make $ f(x) $ divisible by a fixed polynomial $m(x)$ and Albert's goal is to prevent this.

(a) Which of the players has a winning strategy if $ m(x)=x-2012 $?
(b) Which of the players has a winning strategy if $ m(x)=x^{2}+1 $?

Problem 7. Define the sequence $ a_{0},a_{1},\dots $ inductively by $ a_{0}=1 $, $ a_{1}=\frac{1}{2} $, and \[ a_{n+1}=\frac{n a_{n}^{2}}{1+(n+1)a_{n}},\quad\forall n\ge 1. \]Show that the series $ \sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_{k}} $ converges and determine its value.

Problem 8. Is the set of positive integers $n$ such that $ n!+1 $ divides $ (2012n)! $ finite or infinite?

Problem 9. Let $ n\ge 2 $ be an integer. Find all real numbers $a$ such that there exist real numbers $ x_{1},x_{2},\dots,x_{n} $ satisfying \[ x_{1}(1-x_{2})=x_{2}(1-x_{3})=\dots=x_{n}(1-x_{1})=a. \]
Problem 10. Let $ c\ge 1 $ be a real number. Let $ G $ be an Abelian group and let $ A\subset G $ be a finite set satisfying $ |A+A|\le c|A| $, where $ X+Y:=\{x+y| x\in X, y\in Y\} $ and $ |Z| $ denotes the cardinality of $ Z $. Prove that \[ |\underbrace{A+A+\dots+A}_{k}|\le c^{k}|A| \]for every positive integer $k$.

Nguồn: AoPS
------------
Ai có thể dịch giúp mình đề thi này với. Cảm ơn!

#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3323 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2012 - 01:40

Không biết có đúng không nữa!

Problem 1. Với mọi số nguyên dương $n$, gọi $p(n)$ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên dương không kể thứ tự. Chẳng hạn $ p(4)=5 $ bởi vì
\[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. \]
Ta cũng quy ước $ p(0)=1 $.
Chứng minh rằng $ p(n)-p(n-1) $ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên (không kể thứ tự) mà mỗi số hạng đều lớn hơn $1$.

Problem 3. Cho số nguyên $n> 1$, $S_n$ là nhóm các hoán vị của các số $1,2,3, ..., n$. Hai người chơi, $A$ và $B$, chơi trò chơi sau đây. Lần lượt, họ chọn các phần tử từ nhóm $S_n$ (mỗi phần tử cho một lần). Một phần tử đã được lựa chọn, sẽ không được chọn lại. Trò chơi kết thúc khi các phần tử được chọn tạo ra đầy đủ nhóm $S_n$. Người chơi lượt cuối cùng sẽ bị thua cuộc. Người đầu tiên chơi là $A$. Người chơi nào có một chiến lược chiến thắng?

Problem 4. Cho $ f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ là một hàm liên tục thỏa mãn $ f'(t)>f(f(t)) $ với mọi $ t\in\mathbb{R} $.
Chứng minh rằng $ f(f(f(t)))\le0 $ với mọi $ t\ge 0 $.

Problem 5. Cho $a$ là một số hữu tỉ, và $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $ là bất khả quy trên vành $ \mathbb{Q}[X] $ các đa thức hệ số hữu tỉ.

Problem 6. Xét đa thức $ f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}$. Albert Einstein và Homer Simpson chơi một trò chơi sau. Đến lượt của mình, người chơi chọn một trong các hệ số $ a_{0},a_{1},\dots,a_{2011} $ và gán nó thành một giá trị thực. Albert là người chơi trước. Một giá trị được gán sẽ không thay đổi được nữa. Trò chơi sẽ kết thúc sau khi tất cả các hệ số đều được gán giá trị.
Mục tiêu của Homer's là làm cho $ f(x) $ chia hết cho một đa thức $m(x)$ xác định và mục tiêu của Albert's là ngăn chặn điều này.

(a) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x-2012 $?
(b) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x^{2}+1 $?

Problem 7. Cho dãy số $a_0,a_1,…$ xác định bởi $a_0=1, a_1=\dfrac{1}{2}$, và
$a_{n+1}=\dfrac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},\;\forall n\ge 1$.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ hội tụ và tìm giá trị đó.

Problem 8. Tập hợp các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $ n!+1 \Big| (2012n)! $ là hữu hạn hay vô hạn?

Problem 9. Cho số nguyên $ n\ge 2 $. Tìm tất cả những số thực $a$ sao cho tồn tại các số thực $ x_{1},x_{2},\dots,x_{n} $ thỏa mãn điều kiện \[ x_{1}(1-x_{2})=x_{2}(1-x_{3})=\dots=x_{n}(1-x_{1})=a. \]
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#3 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 02-08-2012 - 17:22

Problem 2. Let $n$ be a fixed positive integer. Determine the smallest possible rank of an $ n\times n $ matrix that has zeros along the main diagonal and strictly positive real numbers off the main diagonal.


Dịch nốt problem này cho trọn vẹn đề :D

Problem 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định hạng nhỏ nhất có thể của ma trận vuông $n \times n$ mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng $0$ và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số thực dương.

#4 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 02-08-2012 - 17:47

Problem 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định hạng nhỏ nhất có thể của ma trận vuông $n \times n$ mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng $0$ và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số thực dương.


Minh họa phát loại ma trận thế này : $\left(
\begin{array}{rccr}
0 & \star & \star & \ldots
\\
\star & 0 & \star & \ldots
\\
\star & \star & 0 & \ldots
\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right)$

Trong đó $\star \in \mathbb{R}, \star > 0$.

Bài này khó phết :wacko: nhưng trông khá thú vị. Dễ thấy các trường hợp cụ thể $n=2$ và $n=3$ thì loại ma trận này khả nghịch nên hạng lần lượt bằng $2$ và bằng $3$ nhưng với $n \geq 4$ thì có thể chỉ ra một ma trận loại này mà không khả nghịch nên chưa biết thế nào :mellow: .

#5 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 02-08-2012 - 18:08

Đã có solution của bài này trên mathlinks nếu bạn nào muốn tham khảo, ý tưởng rất đẹp :). Hạng nhỏ nhất là $2$ cho ma trận $2 \times 2$ và là $3$ với $n \geq 3$. Dạng ma trận có hạng nhỏ nhất này cũng được đưa ra đó là ma trận đối xứng mà phần tử ở hàng $i$ và cột $j$ có giá trị $a_{ij} = (i-j)^2$. Kết quả rất thú vị :).

#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2012 - 20:21

Problem 10. Let $ c\ge 1 $ be a real number. Let $ G $ be an Abelian group and let $ A\subset G $ be a finite set satisfying $ |A+A|\le c|A| $, where $ X+Y:=\{x+y| x\in X, y\in Y\} $ and $ |Z| $ denotes the cardinality of $ Z $. Prove that \[ |\underbrace{A+A+\dots+A}_{k}|\le c^{k}|A| \]for every positive integer $k$.


Cho $c \ge 1$ là một số thực. Giả sử $G$ là một nhóm Abel và $A \subset G$ là một tập hữu hạn thỏa mãn $|A+A| \le c|A|$, trong đó $X+Y:= \{x+y| x \in X, y \in Y\}$ và $|Z|$ ký hiệu là lực lượng của $Z$. Chứng minh rằng \[|\underbrace{A+A+\dots+A}_k| \le c^k |A|\] với mỗi số nguyên dương $k$.

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-08-2012 - 21:02

Kết quả IMC 2012.

File đính kèm: File gửi kèm  IMC2012RES.pdf   198.33K   909 Số lần tải File gửi kèm  results_pre-final.rar   15.23MB   267 Số lần tải

Xem thêm tại: imc-math.org.uk




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh