Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế 2012 (IMC 2012)
#1
Đã gửi 30-07-2012 - 23:31
Sau đây là đề thi hai vòng IMC 2012 (bản tiếng Anh)
Day 1, July 28, 2012
Problem 1. For every positive integer $n$, let $p(n)$ denote the number of ways to express $n$ as a sum of positive integers. For instance, $ p(4)=5 $ because
\[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. \]
Also define $ p(0)=1 $. Prove that $ p(n)-p(n-1) $ is the number of ways to express as a sum of integers each of which is strictly greater than $1$.
Problem 2. Let $n$ be a fixed positive integer. Determine the smallest possible rank of an $ n\times n $ matrix that has zeros along the main diagonal and strictly positive real numbers off the main diagonal.
Problem 3. Given an integer $n>1$, let $ S_{n} $ be the group of permutations of the numbers $ 1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n $. Two players, $A$ and $B$, play the following game. Taking turns, they select elements (one element at a time) from the group $ S_{n} $. It is forbidden to select an element that has already been selected. The game ends when the selected elements generate the whole group $ S_{n} $. The player who made the last move loses the game. The first move is made by $A$. Which player has a winning strategy?
Problem 4. Let $ f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ be a continuously differentiable function that satisfies $ f'(t)>f(f(t)) $ for all $ t\in\mathbb{R} $. Prove that $ f(f(f(t)))\le0 $ for all $ t\ge0 $.
Problem 5. Let $a$ be a rational number and let $n$ be a positive integer. Prove that the polynomial $ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $ is irreducible in the ring $ \mathbb{Q}[X] $ of polynomials with rational coefficients.
Day 2, July 29, 2012
Problem 6. Consider a polynomial $ f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}$. Albert Einstein and Homer Simpson are playing the following game. In turn, they choose one of the coefficients $ a_{0},a_{1},\dots,a_{2011} $ and assign a real value to it. Albert has the first move. Once a value is assigned to a coefficient, it cannot be changed any more. The game ends after all the coefficients have been assigned values.
Homer's goal is to make $ f(x) $ divisible by a fixed polynomial $m(x)$ and Albert's goal is to prevent this.
(a) Which of the players has a winning strategy if $ m(x)=x-2012 $?
(b) Which of the players has a winning strategy if $ m(x)=x^{2}+1 $?
Problem 7. Define the sequence $ a_{0},a_{1},\dots $ inductively by $ a_{0}=1 $, $ a_{1}=\frac{1}{2} $, and \[ a_{n+1}=\frac{n a_{n}^{2}}{1+(n+1)a_{n}},\quad\forall n\ge 1. \]Show that the series $ \sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_{k}} $ converges and determine its value.
Problem 8. Is the set of positive integers $n$ such that $ n!+1 $ divides $ (2012n)! $ finite or infinite?
Problem 9. Let $ n\ge 2 $ be an integer. Find all real numbers $a$ such that there exist real numbers $ x_{1},x_{2},\dots,x_{n} $ satisfying \[ x_{1}(1-x_{2})=x_{2}(1-x_{3})=\dots=x_{n}(1-x_{1})=a. \]
Problem 10. Let $ c\ge 1 $ be a real number. Let $ G $ be an Abelian group and let $ A\subset G $ be a finite set satisfying $ |A+A|\le c|A| $, where $ X+Y:=\{x+y| x\in X, y\in Y\} $ and $ |Z| $ denotes the cardinality of $ Z $. Prove that \[ |\underbrace{A+A+\dots+A}_{k}|\le c^{k}|A| \]for every positive integer $k$.
Nguồn: AoPS
------------
Ai có thể dịch giúp mình đề thi này với. Cảm ơn!
- hxthanh, funcalys, Tham Lang và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 31-07-2012 - 01:40
Problem 1. Với mọi số nguyên dương $n$, gọi $p(n)$ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên dương không kể thứ tự. Chẳng hạn $ p(4)=5 $ bởi vì
\[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. \]
Ta cũng quy ước $ p(0)=1 $.
Chứng minh rằng $ p(n)-p(n-1) $ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên (không kể thứ tự) mà mỗi số hạng đều lớn hơn $1$.
Problem 3. Cho số nguyên $n> 1$, $S_n$ là nhóm các hoán vị của các số $1,2,3, ..., n$. Hai người chơi, $A$ và $B$, chơi trò chơi sau đây. Lần lượt, họ chọn các phần tử từ nhóm $S_n$ (mỗi phần tử cho một lần). Một phần tử đã được lựa chọn, sẽ không được chọn lại. Trò chơi kết thúc khi các phần tử được chọn tạo ra đầy đủ nhóm $S_n$. Người chơi lượt cuối cùng sẽ bị thua cuộc. Người đầu tiên chơi là $A$. Người chơi nào có một chiến lược chiến thắng?
Problem 4. Cho $ f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ là một hàm liên tục thỏa mãn $ f'(t)>f(f(t)) $ với mọi $ t\in\mathbb{R} $.
Chứng minh rằng $ f(f(f(t)))\le0 $ với mọi $ t\ge 0 $.
Problem 5. Cho $a$ là một số hữu tỉ, và $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $ là bất khả quy trên vành $ \mathbb{Q}[X] $ các đa thức hệ số hữu tỉ.
Problem 6. Xét đa thức $ f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}$. Albert Einstein và Homer Simpson chơi một trò chơi sau. Đến lượt của mình, người chơi chọn một trong các hệ số $ a_{0},a_{1},\dots,a_{2011} $ và gán nó thành một giá trị thực. Albert là người chơi trước. Một giá trị được gán sẽ không thay đổi được nữa. Trò chơi sẽ kết thúc sau khi tất cả các hệ số đều được gán giá trị.
Mục tiêu của Homer's là làm cho $ f(x) $ chia hết cho một đa thức $m(x)$ xác định và mục tiêu của Albert's là ngăn chặn điều này.
(a) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x-2012 $?
(b) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x^{2}+1 $?
Problem 7. Cho dãy số $a_0,a_1,…$ xác định bởi $a_0=1, a_1=\dfrac{1}{2}$, và
$a_{n+1}=\dfrac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},\;\forall n\ge 1$.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ hội tụ và tìm giá trị đó.
Problem 8. Tập hợp các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $ n!+1 \Big| (2012n)! $ là hữu hạn hay vô hạn?
Problem 9. Cho số nguyên $ n\ge 2 $. Tìm tất cả những số thực $a$ sao cho tồn tại các số thực $ x_{1},x_{2},\dots,x_{n} $ thỏa mãn điều kiện \[ x_{1}(1-x_{2})=x_{2}(1-x_{3})=\dots=x_{n}(1-x_{1})=a. \]
- anh qua, CD13, funcalys và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 02-08-2012 - 17:22
Problem 2. Let $n$ be a fixed positive integer. Determine the smallest possible rank of an $ n\times n $ matrix that has zeros along the main diagonal and strictly positive real numbers off the main diagonal.
Dịch nốt problem này cho trọn vẹn đề
Problem 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định hạng nhỏ nhất có thể của ma trận vuông $n \times n$ mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng $0$ và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số thực dương.
#4
Đã gửi 02-08-2012 - 17:47
Problem 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định hạng nhỏ nhất có thể của ma trận vuông $n \times n$ mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng $0$ và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số thực dương.
Minh họa phát loại ma trận thế này : $\left(
\begin{array}{rccr}
0 & \star & \star & \ldots
\\
\star & 0 & \star & \ldots
\\
\star & \star & 0 & \ldots
\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right)$
Trong đó $\star \in \mathbb{R}, \star > 0$.
Bài này khó phết nhưng trông khá thú vị. Dễ thấy các trường hợp cụ thể $n=2$ và $n=3$ thì loại ma trận này khả nghịch nên hạng lần lượt bằng $2$ và bằng $3$ nhưng với $n \geq 4$ thì có thể chỉ ra một ma trận loại này mà không khả nghịch nên chưa biết thế nào .
#5
Đã gửi 02-08-2012 - 18:08
#6
Đã gửi 03-08-2012 - 20:21
Problem 10. Let $ c\ge 1 $ be a real number. Let $ G $ be an Abelian group and let $ A\subset G $ be a finite set satisfying $ |A+A|\le c|A| $, where $ X+Y:=\{x+y| x\in X, y\in Y\} $ and $ |Z| $ denotes the cardinality of $ Z $. Prove that \[ |\underbrace{A+A+\dots+A}_{k}|\le c^{k}|A| \]for every positive integer $k$.
Cho $c \ge 1$ là một số thực. Giả sử $G$ là một nhóm Abel và $A \subset G$ là một tập hữu hạn thỏa mãn $|A+A| \le c|A|$, trong đó $X+Y:= \{x+y| x \in X, y \in Y\}$ và $|Z|$ ký hiệu là lực lượng của $Z$. Chứng minh rằng \[|\underbrace{A+A+\dots+A}_k| \le c^k |A|\] với mỗi số nguyên dương $k$.
- hxthanh yêu thích
#7
Đã gửi 03-08-2012 - 21:02
File đính kèm: IMC2012RES.pdf 198.33K 1144 Số lần tải results_pre-final.rar 15.23MB 267 Số lần tải
Xem thêm tại: imc-math.org.uk
- hxthanh yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh