Chứng minh đa thức $x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+23$ bất khả quy trên Q
Đa thức $x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+23$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$
Bắt đầu bởi my_ha_123, 31-07-2012 - 07:08
#1
Đã gửi 31-07-2012 - 07:08
my_ha_123
-
- Thành viên
-
- 34 Bài viết
Binh nhất
- nguyenta98 và IloveMaths thích
#2
Đã gửi 09-08-2012 - 22:07
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5004 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Đặt $P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+23$
Giả sử $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Q}$
Nếu $P(x)$ có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải nguyên và là ước số của $23$.
Nhưng $P(\pm 1);P(\pm 23) \ne 0$ nên $P(x)$ vô nghiệm hữu tỷ.
Do đó, $P(x)$ phải có dạng
\[
\begin{array}{l}
P\left( x \right) = \left( {x^2 + mx + p} \right)\left( {x^2 + nx + q} \right);\left( {m;n;p;q \in \mathbb{Q}} \right) \\
= x^4 + \left( {m + n} \right)x^3 + \left( {q + p + mn} \right)x^2 + \left( {mq + np} \right)x + pq \\
= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 23 \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + n = - 10 \\
mn + p + q = 35 \\
mq + np = - 50 \\
pq = 23 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Hệ này vô nghiệm hữu tỷ. Do đó, $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$.
Đặt $P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+23$
Giả sử $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Q}$
Nếu $P(x)$ có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải nguyên và là ước số của $23$.
Nhưng $P(\pm 1);P(\pm 23) \ne 0$ nên $P(x)$ vô nghiệm hữu tỷ.
Do đó, $P(x)$ phải có dạng
\[
\begin{array}{l}
P\left( x \right) = \left( {x^2 + mx + p} \right)\left( {x^2 + nx + q} \right);\left( {m;n;p;q \in \mathbb{Q}} \right) \\
= x^4 + \left( {m + n} \right)x^3 + \left( {q + p + mn} \right)x^2 + \left( {mq + np} \right)x + pq \\
= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 23 \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + n = - 10 \\
mn + p + q = 35 \\
mq + np = - 50 \\
pq = 23 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Hệ này vô nghiệm hữu tỷ. Do đó, $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$.
- L Lawliet, henry0905, nguyenta98 và 2 người khác yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
