Đến nội dung

Hình ảnh

\[\sum {\frac{a}{{b + c}} + \frac{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}} \ge \frac{5}{2}\]

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{a^2.b+b^2.c+c^2.a}{a.b^2+b.c^2+c.a^2}\ge \frac{5}{2}$
Với a,b,c dương.

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#2
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
Để chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+c^{2}+ca^{2}}\geq \frac{5}{2}$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (1)
và $\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+c^{2}+ca^{2}}\geq1$ (2)
Thấy (1) luôn đúng, là bđt Nesbit.
Ta cần chứng minh (2) hay phải chứng minh
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+c^{2}b+ca^{2}$ với giả sử $a\geq b\geq c$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-a+a-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(ab-bc)+(a-c)(bc-ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)(b-c)\geq 0 (đúng)$
Vậy ta có Đ.P.C.M. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 01-08-2012 - 16:09

Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#3
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

$ (a-b)(a-c)(b-c)\geq 0 (đúng)$

Điều này không đúng bởi vì
Với 3 số a,b,c ta chỉ có thể giả sử a là số lớn nhất
$\Rightarrow (a-b)(a-c) \ge 0$
$b-c$ chưa xác định dấu

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Điều này không đúng bởi vì
Với 3 số a,b,c ta chỉ có thể giả sử a là số lớn nhất
$\Rightarrow (a-b)(a-c) \ge 0$
$b-c$ chưa xác định dấu

Mình giả sử $a\geq b\geq c$ rồi bạn.
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#5
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Với 3 số a,b,c ta chỉ giả sử một trong 3 số lớn nhất thôi
Nên không thể giả sử $a \ge b \ge c$
========
Nếu bạn đúng thì hãy chứng minh cho mình trong trường hợp
$a \ge c \ge b$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Hiếu ơi check lại đề xem nào có giống bài 392 này không
http://diendantoanho...800#entry330433
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu đề đúng thì có lẽ chúng ta phải down S.O.C về ngâm cứu thử :-bd
http://www.mediafire...3ix67l4twxjbxyr

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 01-08-2012 - 17:12

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
"BĐT trên tương đương với:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$

Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C."
Phỏng theo lời giải của minhtuyb
Mình không hiểu nên hỏi

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#8
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

"BĐT trên tương đương với:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$

Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C."
Phỏng theo lời giải của minhtuyb
Mình không hiểu nên hỏi

nhìn cái này dễ hơn cái trên kia:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$

$($$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)})(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq (a-b)(b-c)(c-a)$
giả sử $c=min\left \{a,b,c \right \}$
thay a,b,c bằng a-c, b-c, 0 thì vế không đổi, còn vế trái giảm(cái này dễ dàng chứng minh được như sau):
$\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{(a-c)(b-c)^{2}}{(a-c)(b-c)}=b-c$ (cái này dễ dàng chứng minh được)
chứng minh hai cái tuơng tự
như vậy ta chỉ cần chứng minh với c=0
ta thay c=0 vào BDT ta được
$\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{4}{\sqrt[3]{2}}> \frac{5}{2}$
điều phải chứng minh
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#9
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

nhìn cái này dễ hơn cái trên kia:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$

$($$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)})(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq (a-b)(b-c)(c-a)$
giả sử $c=min\left \{a,b,c \right \}$
thay a,b,c bằng a-c, b-c, 0 thì vế không đổi, còn vế trái giảm(cái này dễ dàng chứng minh được như sau):
$\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{(a-c)(b-c)^{2}}{(a-c)(b-c)}=b-c$ (cái này dễ dàng chứng minh được)
chứng minh hai cái tuơng tự
như vậy ta chỉ cần chứng minh với c=0
ta thay c=0 vào BDT ta được
$\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{4}{\sqrt[3]{2}}> \frac{5}{2}$
điều phải chứng minh
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

P­hương pháp chứng minh là j
Tại sao lại thay
a,b,c bằng a-c;b-c;0

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#10
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

P­hương pháp chứng minh là j
Tại sao lại thay
a,b,c bằng a-c;b-c;0

đây là phương pháp dồn biến toàn miền, không biết làm có đúng không nữa, pm thấy sao?

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh