Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

cho n là số nguyên tố và a₁,a_2,...a_m là các số nguyên dương.gọi f(k) là số các bộ m số (c₁,c₂,..c_m) thỏa điều kiện 0$\leq$ c_i$\leq$a_i và c₁+c₂+...c_m$\equiv$ k (mod m).cmr f(0)=f(1)=...=f(n-1) khi và chỉ khi n l a_j với j là số nào đó thuộc tập (1,2,...,m)

[Karl Heinrich Marx]

cho n là số nguyên tố và a₁,a_2,...a_m là các số nguyên dương.gọi f(k) là số các bộ m số (c₁,c₂,..c_m) thỏa điều kiện 0$\leq$ c_i$\leq$a_i và c₁+c₂+...c_m$\equiv$ k (mod m).cmr f(0)=f(1)=...=f(n-1) khi và chỉ khi n l a_j với j là số nào đó thuộc tập (1,2,...,m)

Bạn xem lại đề xem sao, $c_1+c_2+...+c_m \equiv k$ phải lấy theo đồng dư $n$ chứ không phải $m$. Ý tưởng bài này là từ số phức, nếu đk là $0 \le c_i \le a_i$ thì hình như mệnh đề tương đương trên đúng khi và chỉ khi $(n-1)|a_j$. Còn để đề bài chuẩn xác hơn có lẽ điều kiện là $1 \le c_i \le a_i$. Cái này bạn có thể lấy ví dụ với $n=3$ là thấy.
Gọi $ a= cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}$.Từ giả thiết ta có thể viết như sau:
$$ \prod_{i=1}^{m} \left(\sum\limits_{t=0}^{a_i}a^t \right) = \sum\limits_{j=0}^{n-1}f(j)a^j$$
ta thấy $VP=0$ khi và chỉ khi $f(j)=f(i), 0 \le j \le i \le n$ còn $VT=0$ khi và chỉ khi $n-1|a_j$ với $j$ là một số nào đó thuộc tập $(1,2,..,m)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 02-08-2012 - 12:25