Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTNN: \[M = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4abc\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 tuyhuyenan

tuyhuyenan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-08-2012 - 15:18

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết
tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>>
Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuyhuyenan: 02-08-2012 - 15:43


#2 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 02-08-2012 - 15:28

ta dễ dàng chứng minh:
$0 < a,b,c \leq \frac{3}{2}$
Áp dụng BDT cô si cho ba số dương ta có:
$(\frac{3}{2}-a)+ (\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c) \geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^3 \geq \frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq \frac{27}{8}-\frac{9}{4}(a+b+c)+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq -\frac{27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc$
$\Leftrightarrow 4abc \geq -14 + 6(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc \geq 13$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 02-08-2012 - 15:37

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và $a + b + c = 3.$
Tìm GTNN của biểu thức $M = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 4abc$

Cách khác:
$2M=(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+(1-abc)+26 \geq 26$
Suy ra $M_{min}=13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 02-08-2012 - 15:39

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 02-08-2012 - 15:44

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc

Cách khác
Đặt $ ab+bc+ca=q; abc=r$
ta có $q\leq 3$
$r\geq max\left \{ 0;\frac{(4q-9)}{3} \right \}$
Nếu
$4q-9\geq 0\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$
$\Rightarrow 3\sum a^{2}+4abc=27-6q+4r\geq 27-6q+4.\frac{4q-9}{3}=15-\frac{2}{3}q\geq 15-2=13$
Dấu = khi a=b=c=0
Nếu $4q-9\leq 0\Leftrightarrow q\leq \frac{9}{4}$
$\Rightarrow 3\sum a^{2}+4abc=27-6q+4r\geq 27-6.\frac{9}{4}+0=13.5$
Vậy M min =13 tại a=b=c=1
------------
Đây là phương pháp đổi biến p,q,r có thể áp dụng với hầu hết các bài dạng này tại đây

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#5 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 02-08-2012 - 18:58

bài này là áp dụng $abc\geq \left ( a+b-c \right )\left ( b +c-a \right )\left ( c+a-b \right )$


#6 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 03-08-2012 - 07:42

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết
tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>>
Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

cách khác núa : :icon6:
Theo nguyên tác Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số cùng lon hoặc nhỏ hon 1 . Gsu đó là a và b .
$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c= c(3-c)-c= 2c-c^2$
Do đó : $M=3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geq \frac{3}{2}.(a+b)^2+3c^2+4(2c-c^2)$
$= \frac{3}{2}.(3-c)^2+3c^2+4(2c-c^2)= \frac{c^2}{2}-c+\frac{27}{2}= \frac{(c-1)^2+26}{2}\geq \frac{26}{2}= 13$

#7 thatp

thatp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 28-01-2015 - 20:51

mọi người cho em hỏi bài này dùng khảo sát hàm số chứng minh dc ko ạ ? tại em giải ra thấy nó ko hợp lý lắm @@



#8 Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Hưng Yên
  • Sở thích:Prime

Đã gửi 30-01-2015 - 17:43

cách khác núa : :icon6:
Theo nguyên tác Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số cùng lon hoặc nhỏ hon 1 . Gsu đó là a và b .

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c= c(3-c)-c= 2c-c^2$
Do đó : $M=3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geq \frac{3}{2}.(a+b)^2+3c^2+4(2c-c^2)$
$= \frac{3}{2}.(3-c)^2+3c^2+4(2c-c^2)= \frac{c^2}{2}-c+\frac{27}{2}= \frac{(c-1)^2+26}{2}\geq \frac{26}{2}= 13$

Bạn ơi,sửa lỗi chính tả đi,người Việt sao lại viết tiếng Việt thế này cơ chứ


Chung Anh


#9 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 30-01-2015 - 18:47

Giả sử $c$ nằm giữa $a$ và $b$ thì ta có $3(a^2+b^2+c^2)+4abc-3[(a+b-c)^2+2c^2]-4(a+b-c)c^2=2(2c-3)(a-c)(b-c) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 3(3-2c)^2+6c^2+4(3-2c)c^2=2(c-1)^2(7-4c)+13 \geqslant 13$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 30-01-2015 - 19:01

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì tồn tại $x,y\geqslant 0$ để $a=c+x, b=c+y$. Khi đó

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc-\dfrac{13}{27}(a+b+c)^3\\=\dfrac{2}{27}(x+y)\left[7(x-y)^2+xy\right]+\dfrac{2}{3}c(x^2+y^2-xy) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 13$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 30-01-2015 - 19:02

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11 midory

midory

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thành phố Tuyên Quang
  • Sở thích:coi manga, xem drama Hàn Xẻng và làm toán mò

Đã gửi 17-02-2016 - 15:22

ta dễ dàng chứng minh:
$0 < a,b,c \leq \frac{3}{2}$
Áp dụng BDT cô si cho ba số dương ta có:
$(\frac{3}{2}-a)+ (\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c) \geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^3 \geq \frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq \frac{27}{8}-\frac{9}{4}(a+b+c)+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq -\frac{27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc$
$\Leftrightarrow 4abc \geq -14 + 6(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc \geq 13$

Tại sao lại biết là áp dụng BĐT co si cho 3 số dương này ạ. Nếu thay đề bài bằng a+b+c=1 tìm min M= $a^{2} +b^{2}+c^{2}+4abc$


                                    :wub:  :wub:  :wub: EXO - L  :wub:  :wub:  :wub:

 ghé thăm me tại my fb: https://www.facebook...100005643883263


#12 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết

Đã gửi 26-01-2019 - 12:01

bài này là áp dụng $abc\geq \left ( a+b-c \right )\left ( b +c-a \right )\left ( c+a-b \right )$

dùng cái bdt đó giải sao bạn 



#13 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 31-01-2019 - 20:52

dùng cái bdt đó giải sao bạn 

Từ $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\Rightarrow abc\geq (3-2c)(3-2b)(3-2a)$

$\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ca)-8abc$

$\Rightarrow 9abc\geq 27-3.18+12(ab+bc+ca)=12(ab+bc+ca)-27$

$\Rightarrow 4abc\geq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)-12$$

Thay vào M ta có $M\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{16}{3}(ab+bc+ca)-12=3(a+b+c)^{2}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)-12\geq 3.3^{2}-\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-12=27-\frac{2}{3}.\frac{3^{2}}{3}-12=13$

Dấu = xãy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 31-01-2019 - 20:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh