Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN: \[M = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4abc\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
tuyhuyenan

tuyhuyenan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết
tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>>
Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuyhuyenan: 02-08-2012 - 15:43


#2
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
ta dễ dàng chứng minh:
$0 < a,b,c \leq \frac{3}{2}$
Áp dụng BDT cô si cho ba số dương ta có:
$(\frac{3}{2}-a)+ (\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c) \geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^3 \geq \frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq \frac{27}{8}-\frac{9}{4}(a+b+c)+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq -\frac{27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc$
$\Leftrightarrow 4abc \geq -14 + 6(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc \geq 13$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và $a + b + c = 3.$
Tìm GTNN của biểu thức $M = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 4abc$

Cách khác:
$2M=(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+(1-abc)+26 \geq 26$
Suy ra $M_{min}=13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 02-08-2012 - 15:39

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc

Cách khác
Đặt $ ab+bc+ca=q; abc=r$
ta có $q\leq 3$
$r\geq max\left \{ 0;\frac{(4q-9)}{3} \right \}$
Nếu
$4q-9\geq 0\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$
$\Rightarrow 3\sum a^{2}+4abc=27-6q+4r\geq 27-6q+4.\frac{4q-9}{3}=15-\frac{2}{3}q\geq 15-2=13$
Dấu = khi a=b=c=0
Nếu $4q-9\leq 0\Leftrightarrow q\leq \frac{9}{4}$
$\Rightarrow 3\sum a^{2}+4abc=27-6q+4r\geq 27-6.\frac{9}{4}+0=13.5$
Vậy M min =13 tại a=b=c=1
------------
Đây là phương pháp đổi biến p,q,r có thể áp dụng với hầu hết các bài dạng này tại đây

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#5
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
bài này là áp dụng $abc\geq \left ( a+b-c \right )\left ( b +c-a \right )\left ( c+a-b \right )$


#6
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết
tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>>
Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

cách khác núa : :icon6:
Theo nguyên tác Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số cùng lon hoặc nhỏ hon 1 . Gsu đó là a và b .
$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c= c(3-c)-c= 2c-c^2$
Do đó : $M=3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geq \frac{3}{2}.(a+b)^2+3c^2+4(2c-c^2)$
$= \frac{3}{2}.(3-c)^2+3c^2+4(2c-c^2)= \frac{c^2}{2}-c+\frac{27}{2}= \frac{(c-1)^2+26}{2}\geq \frac{26}{2}= 13$

#7
thatp

thatp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

mọi người cho em hỏi bài này dùng khảo sát hàm số chứng minh dc ko ạ ? tại em giải ra thấy nó ko hợp lý lắm @@



#8
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

cách khác núa : :icon6:
Theo nguyên tác Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số cùng lon hoặc nhỏ hon 1 . Gsu đó là a và b .

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c= c(3-c)-c= 2c-c^2$
Do đó : $M=3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geq \frac{3}{2}.(a+b)^2+3c^2+4(2c-c^2)$
$= \frac{3}{2}.(3-c)^2+3c^2+4(2c-c^2)= \frac{c^2}{2}-c+\frac{27}{2}= \frac{(c-1)^2+26}{2}\geq \frac{26}{2}= 13$

Bạn ơi,sửa lỗi chính tả đi,người Việt sao lại viết tiếng Việt thế này cơ chứ


Chung Anh


#9
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Giả sử $c$ nằm giữa $a$ và $b$ thì ta có $3(a^2+b^2+c^2)+4abc-3[(a+b-c)^2+2c^2]-4(a+b-c)c^2=2(2c-3)(a-c)(b-c) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 3(3-2c)^2+6c^2+4(3-2c)c^2=2(c-1)^2(7-4c)+13 \geqslant 13$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì tồn tại $x,y\geqslant 0$ để $a=c+x, b=c+y$. Khi đó

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc-\dfrac{13}{27}(a+b+c)^3\\=\dfrac{2}{27}(x+y)\left[7(x-y)^2+xy\right]+\dfrac{2}{3}c(x^2+y^2-xy) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 13$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 30-01-2015 - 19:02

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11
midory

midory

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

ta dễ dàng chứng minh:
$0 < a,b,c \leq \frac{3}{2}$
Áp dụng BDT cô si cho ba số dương ta có:
$(\frac{3}{2}-a)+ (\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c) \geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^3 \geq \frac{3}{2}-a) (\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq \frac{27}{8}-\frac{9}{4}(a+b+c)+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8} \geq -\frac{27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ac)-abc$
$\Leftrightarrow 4abc \geq -14 + 6(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc \geq 13$

Tại sao lại biết là áp dụng BĐT co si cho 3 số dương này ạ. Nếu thay đề bài bằng a+b+c=1 tìm min M= $a^{2} +b^{2}+c^{2}+4abc$


                                    :wub:  :wub:  :wub: EXO - L  :wub:  :wub:  :wub:

 ghé thăm me tại my fb: https://www.facebook...100005643883263


#12
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

bài này là áp dụng $abc\geq \left ( a+b-c \right )\left ( b +c-a \right )\left ( c+a-b \right )$

dùng cái bdt đó giải sao bạn 



#13
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

dùng cái bdt đó giải sao bạn 

Từ $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\Rightarrow abc\geq (3-2c)(3-2b)(3-2a)$

$\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ca)-8abc$

$\Rightarrow 9abc\geq 27-3.18+12(ab+bc+ca)=12(ab+bc+ca)-27$

$\Rightarrow 4abc\geq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)-12$$

Thay vào M ta có $M\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{16}{3}(ab+bc+ca)-12=3(a+b+c)^{2}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)-12\geq 3.3^{2}-\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-12=27-\frac{2}{3}.\frac{3^{2}}{3}-12=13$

Dấu = xãy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 31-01-2019 - 20:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh