Chủ đề này có 5 trả lời

[Crystal]

ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012
MÔN TOÁN 11

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{{6\cos x + 2}} = 2\cos 3x + 2\cos x - 2$.

b) Giải bất phương trình: $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$.

Câu 2: Cho dãy số $({u_n}):{u_1} = 1;{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{u_n^2}}{{2012}}$.

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{u_i}}}{{{u_{i + 1}}}}} $.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$; điểm $M$ di động trên $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Hình chiếu của $M$ trên $AB$ và $AC$ theo thứ tự là $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $CH$. Chứng minh rằng $MI$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
\[x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{12}^4 = 2013\]
Câu 5: Tìm số cách chọn ra $11$ số nguyên phân biệt từ $2012$ số nguyên dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số nguyên liên tiếp.

Theo MS

[triethuynhmath]

.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$; điểm $M$ di động trên $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Hình chiếu của $M$ trên $AB$ và $AC$ theo thứ tự là $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $CH$. Chứng minh rằng $MI$ luôn đi qua một điểm cố định.

Theo MS

Câu này đã có ở đây: http://diendantoanho...t-diểm-cố-dịnh/

[ninhxa]

Câu 4:
-Có $x^4\equiv 0,1(mod16)$. Do đó tổng số dư của $x_1^4+x_2^4+...+x_{12}^4$ khi chia 16 sẽ không vượt quá 12 mà $2013\equiv 13(mod16)$
$\rightarrow$ pt vô nghiệm

[Alexman113]

ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012
MÔN TOÁN 11

Câu 1:
b) Giải bất phương trình: $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$.

Giải:
$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\leq 2-\frac{x^2}{4}\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1+x}+1}+\dfrac{-x}{\sqrt{1-x}+1}+\dfrac{x^2}{4}\leq 0\\
\Leftrightarrow x\left ( \dfrac{1}{1+\sqrt{1+x}} -\dfrac{1}{1+\sqrt{1-x}}+\dfrac{x}{4}\right ) \leq 0$

Nếu: $x=0$, phương trình luôn có nghiệm.

Nếu: $0<x\leq 1,$ ta có: $ \dfrac{1}{1+\sqrt{1+x}} +\dfrac{x}{4} \leq \dfrac{1}{1+\sqrt{1-x}} \Longleftrightarrow 0 <x \leq 1$

Nếu: $-1\leq x <0,$ ta có: $ \dfrac{1}{1+\sqrt{1+x}} +\dfrac{x}{4} \geq \dfrac{1}{1+\sqrt{1-x}} \Longleftrightarrow -1 \leq x < 0$

Vậy: tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[-1;\,1\right]. \blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 03-08-2012 - 11:47

[namcpnh]

ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012
MÔN TOÁN 11

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{{6\cos x + 2}} = 2\cos 3x + 2\cos x - 2$.

Hình như câu này đề nhầm.Đúng phải là: $2\sqrt[3]{{6\cos x + 2}} = 2\cos 3x + 2\cos x - 2$.

Nếu như vậy thì cách giải bài này là:
PT <=>$8cos^{3}x-4cosx-2=2\sqrt[3]{6cosx+2}$

Đặt $a=cosx$ khi đó PT thành:$a^{3}-4a-2=2\sqrt[3]{6a+2}$

Tiếp tục đặt $b=\sqrt[3]{6a+2}$

=>$b^{3}=6a+2$ (1)

Thay lên trên ta được:$a^{3}=4a+2+2b$ (2)

Từ (1) và (2) ta được $a=b$

Thay ngược lài rồi tìm a =>x

[dshung1997]

Câu 1:ĐKXĐ: -1\leq x\leq 1

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq 2-\frac{x^{2}}{4}

2+2\sqrt{1-x^{2}}\leq 4-x^{2}+\frac{x^{4}}{16}

(1-x^{2})-2\sqrt{1-x^{2}}+1+\frac{x^{4}}{16}\geq 0$

 

đến đây là xong rồi. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 27-01-2014 - 23:32