Chủ đề này có 1 trả lời

[blackrose96]

Cho hàm số $y=x^{3}-3x+1$ có đồ thị $C$ và đường thẳng $(d): y=mx + m + 3$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $C$ tại ba điểm phân biệt $A (-1; 3), B, C$ sao cho tiếp tuyến của $C$ tại $B$ và $C$ vuông góc nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 07-08-2012 - 10:17

[longqnh]

Cho hàm số y =$x^{3}$– 3x + 1 có đồ thị © và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. Tìm m để (d) cắt © tại ba điểm phân biệt A (-1; 3), B, C sao cho tiếp tuyến của © tại B và C vuông góc nhau.

$y'=3x^2-3$
PT hoành độ giao điểm (C) và (d):
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = mx + m + 3 \\
<=> {x^3} - \left( {3 + m} \right)x - m - 2 = 0 \\
<=> \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 2 - m} \right) = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 => y = 3\left( { \equiv A} \right) \\
{x^2} - x - 2 - m = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Hoành độ điểm $B$ và $C$ là nghiệm của pt:
\[\begin{array}{l}
{x^2} - x - 2 - m = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
{x_B} = \frac{{1 + \sqrt {9 + 4m} }}{2} \\
{x_c} = \frac{{1 - \sqrt {9 + 4m} }}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
PTTT tại $B$:
\[\begin{array}{l}
y = y'\left( {{x_B}} \right)\left( {x - {x_B}} \right) + {y_B} \\
<=> y = \left( {\frac{3}{2}\sqrt {9 + 4m} + 3m + \frac{9}{2}} \right)\left( {x - \frac{{1 + \sqrt {9 + 4m} }}{2}} \right) + {y_B} \\
\end{array}\]
PTTT tại $C$
\[\begin{array}{l}
y = y'\left( {{x_C}} \right)\left( {x - {x_C}} \right) + {y_C} \\
<=> y = \left( { - \frac{3}{2}\sqrt {9 + 4m} + 3m + \frac{9}{2}} \right)\left( {x - \frac{{1 - \sqrt {9 + 4m} }}{2}} \right) + {y_C} \\
\end{array}\]
YCBT
\[\begin{array}{l}
<=> \left( {\frac{3}{2}\sqrt {9 + 4m} + 3m + \frac{9}{2}} \right)\left( { - \frac{3}{2}\sqrt {9 + 4m} + 3m + \frac{9}{2}} \right) = - 1 \\
<=> 9{m^2} + 18m + 1 = 0 \\
<=> m = \frac{{ - 3 \pm 2\sqrt 2 }}{3} \\
\end{array}\]