Chủ đề này có 6 trả lời

[alex_hoang]

Đề bài:Tìm tất cả các hàm số $f:Z \to R$ thoả mãn $f(1)=\frac{5}{2}$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$$
Với mọi số nguyên $x,y$
$$ MOSP-2005$$

[robin997]

Đề bài:Tìm tất cả các hàm số $f:Z \to R$ thoả mãn $f(1)=\frac{5}{2}(1)$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(*)$$
Với mọi số nguyên $x,y$
MOSP-2005

Mình giải ha
-Với x=y, ta có từ (*): hoặc f(0)=0 hoặc f(0)=2
-TH1: f(0)=0:
Với $x\in Z$ và y=0, ta được từ (*): f(x)=0, điều này trái với (1)
-TH2: f(0)=2:
Thay x bởi (x+1) và y=1 và lấy $a_x$=f(x), ta được từ (*):
$\begin{cases}
& \ a_0=2 \\
& \ a_1=2,5 \\
& \ a_{x+2}-2.5a_{x+1}+a_x=0(I)
\end{cases}$
-Giải (I), ta có: $ a_x=2^xc_1+0,5^xc_2 $
-Với $a_0=2;a_1=2.5$ , lập hệ, tính được $c_1=c_2=1$
-Vậy nghiệm của pt là: $f(x)=2^x+0.5^x$ (Thế lại, thỏa pt )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 06-08-2012 - 14:30

[Crystal]

BÀI TOÁN. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
\[f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( {x - y} \right),\,\,\forall x,y \in \mathbb{N},x \ge y\]

[robin997]

BÀI TOÁN. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
\[f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( {x - y} \right),\,\,\forall x,y \in \mathbb{N},x \ge y\]
(Lấy là (*) nha (,^ ^)/

Bài nì giống giống bài trước nhỉ (^ ^,")]\,
-Với x=y, ta có từ (*): hoặc f(0)=0 hoặc f(0)=2
-TH1: f(0)=0:
Với $x\in N$ và y=0, ta được từ $(*): f(x)=0$ (Kết quả này cũng thỏa (*))
-TH2: f(0)=2:
Thay x bởi (x+1) và y=1 và lấy $a_x$=f(x), ta được từ (*):
$\begin{cases}
& \ a_0=2 \\
& \ a_{x+2}-2.5a_{x+1}+a_x=0(I)
\end{cases}$
(Bắt đầu sai từ khúc này )
______________________________
-Giải (I), ta có: $ a_x=2^xc_1+0,5^xc_2 $ (Với $c_1;c_2$ là các hằng số)
-Với $a_0=2$$\Rightarrow$$c_1+c_2=2$
-Thế lại vào (*), ta có:
$\begin{cases}
& \ c_1^2=c_1 \\
& \ c_2^2=c_2 \\
& \ c_1=c_2=c_1c_2 \\
& \ c_1+c_2=2
\end{cases}\Leftrightarrow c_1=c_2=1$
-Vậy 2 nghiệm của pt là: $f(x)=0$ và $f(x)=2^x+0.5^x$
(Hì...mình làm nhầm...làm lại ở dưới :")

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 08-08-2012 - 20:06

[Crystal]

....
-Vậy 2 nghiệm của pt là: $f(x)=0$ và $f(x)=2^x+0.5^x$

Bạn xem lại bài làm nhé. Giống nhưng kết quả không hoàn toàn giống

Đáp số: Các hàm số thỏa mãn bài toán là \[f\left( x \right) \equiv 0,\,\,f\left( x \right) = {\lambda ^x} + \frac{1}{{{\lambda ^x}}}\,\,\,\left( {\lambda \in \mathbb{R^*}} \right),\,f\left( x \right) = 2\cos \left( {x\varphi } \right),\,\,\left( {\varphi \in \mathbb{R}} \right)\]
Trong đó: $\lambda = a + \sqrt {{a^2} - 4} ,\,\,a = f\left( 1 \right)$.

[robin997]

Bạn xem lại bài làm nhé. Giống nhưng kết quả không hoàn toàn giống

Đáp số: Các hàm số thỏa mãn bài toán là \[f\left( x \right) \equiv 0,\,\,f\left( x \right) = {\lambda ^x} + \frac{1}{{{\lambda ^x}}}\,\,\,\left( {\lambda \in \mathbb{R^*}} \right),\,f\left( x \right) = 2\cos \left( {x\varphi } \right),\,\,\left( {\varphi \in \mathbb{R}} \right)\]
Trong đó: $\lambda = a + \sqrt {{a^2} - 4} ,\,\,a = f\left( 1 \right)$.

Hì..hình như anh thiếu nghiệm f(x)=2 kìa
E làm lại nha
-Với x=y, ta có từ (*): hoặc f(0)=0 hoặc f(0)=2
-TH1: f(0)=0:
Với $x\in N$ và y=0, ta được từ (*): f(x)=0
-TH2: f(0)=2:
(Lấy $f(1)=m$)
Thay x bởi (x+1) và y=1 và lấy $a_x$=f(x), ta được từ (*):
$\begin{cases}
& \ a_0=2 \\
& \ a_1=m \\
& \ a_{x+2}-ma_{x+1}+a_x=0(I)
\end{cases}$
-Giải (I):
+Nếu $m>2$:
giải được $a_x=c_1(\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2})^x+c_2(\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2})^x$
Thế $a_0$ rồi thế vào (*) (Làm như cũ) , giải được $c_1=c_2=1$
Nên: $f(x)=a_x=(\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2})^x+(\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2})^x$
+Nếu $m=2$:
giải được $a_x=c_1+xc_2$
Thế $a_0;a_1$, giải được $c_1=2;c_2=0$
Nên: $f(x)=a_x=2$
+Nếu $m<2$
giải được $a_x=c_1Cos{x\alpha }+c_2Sin{x\alpha }$
(Với $Sin\alpha =\frac{m}{2}$)
Thế $a_0;a_1$, giải được $c_1=2;c_2=0$
Vậy $f(x)=a_x=2Cos{x\alpha }$
-Vậy (*) có 4 nghiệm:
$f(x)=0\\f(x)=2\\f(x)=a_x=(\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2})^x+(\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2})^x\\f(x)=a_x=2Cos{x\alpha }$
(Với $f(1)=m$ và $Sin\alpha =\frac{m}{2}$)
(Chắc anh biết cách giải của em chứ nhỉ) (^^,)//

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 08-08-2012 - 20:26

[Crystal]

Hì..hình như anh thiếu nghiệm f(x)=2 kìa
...

Nghiệm $f(x)=2$ đa nằm trong trường hợp $f\left( x \right) = 2\cos \left( {x\varphi } \right)$ khi $\varphi = 0$.