Chủ đề này có 9 trả lời

[Albert einstein vip]

Cho x,y,z >0 và $x + y + z \leq 1$. Chứng minh$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{z^{2} + \frac{1}{z^{2}}} \geq \sqrt{82}$



Trung Kiên : Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

*Nội quy Diễn đàn Toán học
* Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
* Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
*Nâng cao kĩ năng gõ LATEX
*Tra cứu công thức Toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 06-08-2012 - 18:02

[henry0905]

Cho x,y,z >0 và $x + y + z \leq 1$.Chứng minh: $P=\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{z^{2} + \frac{1}{z^{2}}} \geq \sqrt{82}$

$P\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$
$=\sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{1}{(x+y+z)^{2}}+\frac{80}{(x+y+z)^{2}}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

[vietfrog]

Cho x,y,z >0 và $x + y + z \leq 1$. Chứng minh$P=\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{z^{2} + \frac{1}{z^{2}}} \geq \sqrt{82}$

Lời giải
Bất đẳng thức tương đương:\[

\sqrt {1^2 + 9^2 } .\sum {\sqrt {\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } \ge \sqrt {82} .\sqrt {1^2 + 9^2 } = 82
\]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM :


\[
\sqrt {1^2 + 9^2 } .\sum {\sqrt {\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } \ge \sum {\left( {x + \frac{9}{x}} \right)} = \sum {\left( {x + \frac{1}{{9x}} + \frac{{80}}{{9x}}} \right)} \ge \sum {2\sqrt {\frac{{x.1}}{{9x}}} } + \frac{{80}}{9}.\frac{9}{{\sum x }} = 3.2.\frac{1}{3} + 80 = 82
\]

[Math Is Love]

$P\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$
$=\sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{1}{(x+y+z)^{2}}+\frac{80}{(x+y+z)^{2}}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

Bạn áp dụng BĐT Minkowski phải ko?

[tkvn97]

Bạn áp dụng BĐT Minkowski phải ko?

Đúng như vậy và sử dụng cả sơ đồ điểm rơi nữa

[Math Is Love]

Đúng như vậy và sử dụng cả sơ đồ điểm rơi nữa

Sơ đồ điểm rơi là gì vậy bạn?

[henry0905]

Sơ đồ điểm rơi là gì vậy bạn?

Thực ra từ sơ đồ thì hơi quá. Bạn chỉ cần xét dấu = xảy ra khi nào để tìm được Min hoặc Max của bất đẳng thức cho đúng. Nếu bạn muốn biết thêm về nó thì tài liệu đây
 ky_thuat_tim_diem_roi_torng_bdt_9749.pdf   489.93K   117 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 06-08-2012 - 18:19

[triethuynhmath]

Sơ đồ điểm rơi là gì vậy bạn?

Sơ đồ điểm rơi là $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3} \\ ax=\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$ Nghĩa là lập sơ đồ chọn đúng điểm rơi để chọn hệ số thích hợp để sau khi đánh giá BĐT sẽ xảy ra dấu bằng thì phải

[Math Is Love]

Sơ đồ điểm rơi là $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3} \\ ax=\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$ Nghĩa là lập sơ đồ chọn đúng điểm rơi để chọn hệ số thích hợp để sau khi đánh giá BĐT sẽ xảy ra dấu bằng thì phải

Hic.Vậy mà mình cứ tưởng là 1 phương pháp mới.Cái này chỉ là sự tách ra để tạo ra 1 BĐT đúng

[BoFaKe]

Hic.Vậy mà mình cứ tưởng là 1 phương pháp mới.Cái này chỉ là sự tách ra để tạo ra 1 BĐT đúng

Người ta còn gọi là phương pháp đoán dấu bằng xảy ra.bạn có thể tham khảo cái này  VNMATH.COM-DOAN-DAU-BANG-XAY-RA-LE-ANH-DUNG.pdf   240.47K   2748 Số lần tải