Chủ đề này có 9 trả lời

[cool hunter]

Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là các đường phân giác trong sao cho $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$. C/m: ABC là tam giác đều.

[linhlun97]

$AB= c,BC=a, AC=b$
$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$
$\Rightarrow c.\overrightarrow{DC}=b.\overrightarrow{BD}$
$\Rightarrow c(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=b.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{c}{b+c}.\overrightarrow{AC}+\frac{b}{b+c}.\overrightarrow{AB}$
lập các đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế và biến đổi sẽ được $a=b=c$

[ntuan5]

Có sự :$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$
$\rightarrow 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$
Tỏ ra tương tự, cộng lại thì:
$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AE}=0$
Ai ngờ:
$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=0$
Từ đó suy ra đều. Sự ngược lại không khó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntuan5: 07-08-2012 - 10:51

[cool hunter]

Có sự :$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$
$\rightarrow 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$
Tỏ ra tương tự, cộng lại thì:
$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AE}=0$
Ai ngờ:
$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=0$
Từ đó suy ra đều. Sự ngược lại không khó.

thực sự t ko hiểu b lam` j cả, c/m cẩn thận hộ t

[coolcoolcool1997]

Vẽ hình phụ:
- Vẽ hình bình hành BCHE , hình bình hành CFGH
- Ta có vtBE=vtCH nên vtBE+vtCF=vtCH+vtCF=vtCG (quy tắc hình bình hành).
- Mà theo đề ra vtAD+vtBE+vtCF=vt0 hay vtAD+vtCG=vt0 nên vtAD và vtCG là 2 véctơ đối nhau. Do đó AGCD là hình bình hành, => AG=CD. (1)
- Ta có GF//HC nên ^AGF=^HCx (so le ngoài), mà ^HCx = ^EBC=^B/2 (đồng vị HC//BE).
- Mà ^AFG =^ABE=^B/2 (đồng vị).
- Từ đó ^AGF=^AFG hay tam giác AGF cân tại A, => AG=AF. (2)
Từ (1), (2), suy ra AF=CD.
Tính được AF=AC.AB/(AC+BC)
CD=AC.BC/(AC+AB)
Khai triển, rút gọn và lập luận, được AB=BC.
Tương tự, ta rút ra được AB=BC=CA.
...Hjc, ko go~ dc Latex. Ko Bik why?

[coolcoolcool1997]

Bạn linhlun97 có bảo biến đổi, nhưng mik` ko bik biến đổi ra sao, Hic, viết rõ ra koi

[cool hunter]

Vẽ hình phụ:
- Vẽ hình bình hành BCHE , hình bình hành CFGH
- Ta có vtBE=vtCH nên vtBE+vtCF=vtCH+vtCF=vtCG (quy tắc hình bình hành).
- Mà theo đề ra vtAD+vtBE+vtCF=vt0 hay vtAD+vtCG=vt0 nên vtAD và vtCG là 2 véctơ đối nhau. Do đó AGCD là hình bình hành, => AG=CD. (1)
- Ta có GF//HC nên ^AGF=^HCx (so le ngoài), mà ^HCx = ^EBC=^B/2 (đồng vị HC//BE).
- Mà ^AFG =^ABE=^B/2 (đồng vị).
- Từ đó ^AGF=^AFG hay tam giác AGF cân tại A, => AG=AF. (2)
Từ (1), (2), suy ra AF=CD.
Tính được AF=AC.AB/(AC+BC)
CD=AC.BC/(AC+AB)
Khai triển, rút gọn và lập luận, được AB=BC.
Tương tự, ta rút ra được AB=BC=CA.
...Hjc, ko go~ dc Latex. Ko Bik why?

Cx ở chỗ nao` đấy, b gõ latex cho dễ nhìn đi

[coolcoolcool1997]

Tia Cx là tia đối của tia CB.

[coolcoolcool1997]

Hinh`:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coolcoolcool1997: 18-08-2012 - 23:09

[coolcoolcool1997]

Vẽ hình phụ:
- Vẽ hình bình hành BCHE , hình bình hành CFGH
- Ta có $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CH}$ nên $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CG}$ (quy tắc hình bình hành).
- Mà theo đề ra $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CG}$ là 2 véctơ đối nhau. Do đó AGCD là hình bình hành, => AG=CD. (1)
- Ta có GF//HC, AG//BC nên $\widehat{AGF}=\widehat{HCx}$ (so le ngoài), mà $\widehat{HCx} = \widehat{EBC}=\widehat{B}/2$ (đồng vị HC//BE).
- Mà $\widehat{AFG} =\widehat{ABE}=\widehat{B}/2$ (đồng vị).
- Từ đó $\widehat{AGF}=\widehat{AFG}$ hay tam giác AGF cân tại A, => AG=AF. (2)
Từ (1), (2), suy ra AF=CD.
Tính được $AF=\frac{AC.AB}{AC+BC}$
$CD=\frac{AC.BC}{AC+AB}$
Khai triển, rút gọn và lập luận, được AB=BC.
Tương tự, ta rút ra được AB=BC=CA.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coolcoolcool1997: 19-08-2012 - 07:08