Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 07-08-2012 - 18:04

$M$ là một điểm nằm trong $\Delta ABC, AB = c, AC = b, BC = a$. $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao tương ứng $BC, CA, AB$.
CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$
Tìm vị trí của M sao cho $\frac{a}{MA_{1}} + \frac{b}{MB_{1}} + \frac{c}{MC_{1}}$ nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 07-08-2012 - 19:22


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 07-08-2012 - 19:30

$M$ là một điểm nằm trong $\Delta ABC, AB = c, AC = b, BC = a$. $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao tương ứng $BC, CA, AB$.
CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$
Tìm vị trí của M sao cho $\frac{a}{MA_{1}} + \frac{b}{MB_{1}} + \frac{c}{MC_{1}}$ nhỏ nhất

Không ai làm thôi mình chém luôn:
a) $\frac{MA1}{ha}=\frac{\frac{1}{2}MA1.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự,cộng vế theo vế được:
$\sum \frac{MA1}{ha}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1(Q.E.D)$
____________
b)Nhường cho mọi người,Cauchy-Schwarz phát là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 07-08-2012 - 19:34

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-08-2012 - 19:42

Đặt $MA_1 = x, MB_1 = y, MC_1=z$
Ta có
$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{a^2}{ax} + \frac{b^2}{by} + \frac{c^2}{cz}$
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel, ta có:
$\frac{a^2}{ax} + \frac{b^2}{by} + \frac{c^2}{cz} \geq \frac{(a+b+c)^2}{ax+by+cz}$
$= \frac{(a+b+c)^2}{2S_{ABC}}$
Vậy max $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{(a+b+c)^2}{2S_{ABC}}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ tức $M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh